Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2)
eşitliği sağlanmaktadır.
g(2)=2g(2) = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2}
olduğuna göre, (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri kaçtır?
  1. A
    14\frac{1}{4}
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. 44Cevap
  4. D
    22
  5. E
    11

Cevap

Doğru cevap 4 olacaktır.
Doğru cevaba ulaşmak için zincir kuralı iki kez doğru bir şekilde uygulanmalıdır. İlk olarak (f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2) eşitliği kurulur. f(2)=g(2)=2f(2) = g(2) = 2 olduğu bulunur. Ardından f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x türevi alınarak f′(2)=g′(2)⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot 4 = 2 elde edilir. Bu değerler bileşke türev formülünde yerine yazıldığında 2⋅2=42 \cdot 2 = 4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) uygulanarak (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) ifadesinin açılımı yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(f(2))⋅f′(2)(f \circ f)'(2) = f'(f(2)) \cdot f'(2)
Bileşke fonksiyon türevinde dıştaki fonksiyonun türevi alınır, içine içteki fonksiyon yazılır ve bu değer içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) eşitliğinde x=2x = 2 yazılarak f(2)f(2) değeri bulunur.
f(2)=g(22−2)=g(2)=2f(2) = g(2^2 - 2) = g(2) = 2
Bileşke türev formülündeki f′(f(2))f'(f(2)) ifadesini hesaplamak için öncelikle içteki f(2)f(2) değerine ihtiyaç vardır.
3
f(x)=g(x2−2)f(x) = g(x^2 - 2) fonksiyonunun her iki tarafının xx'e göre türevi alınır.
f′(x)=g′(x2−2)⋅2xf'(x) = g'(x^2 - 2) \cdot 2x
Bileşke fonksiyon türev kuralı uyarınca dıştaki gg fonksiyonunun türevi alındıktan sonra, içteki x2−2x^2 - 2 ifadesinin türevi olan 2x2x ile çarpılması gerekir.
4
Türev fonksiyonunda x=2x = 2 yazılarak f′(2)f'(2) değeri hesaplanır.
f′(2)=g′(2)⋅(2⋅2)=12⋅4=2f'(2) = g'(2) \cdot (2 \cdot 2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2
g′(2)=12g'(2) = \frac{1}{2} bilgisi kullanılarak f′(2)f'(2) değeri elde edilir.
5
Bulunan f(2)=2f(2) = 2 ve f′(2)=2f'(2) = 2 değerleri birinci adımdaki bileşke türev formülünde yerine yazılır.
(f∘f)′(2)=f′(2)⋅f′(2)=2⋅2=4(f \circ f)'(2) = f'(2) \cdot f'(2) = 2 \cdot 2 = 4
Aranan (f∘f)′(2)(f \circ f)'(2) değeri, elde edilen bu iki değerin çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi ve zincir kuralı
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru