Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−12xf(x) = 3x^2 - 12x parabolü ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    16
  2. B
    -32
  3. 32Cevap
  4. D
    160
  5. E
    48

Cevap

32
Parabolün kökleri olan 0 ve 4 sınırları arasında kalan bölge x-ekseninin altında yer alır. Bu nedenle alan, integral değerinin eksi işaretiyle çarpılmasıyla elde edilir. İntegral işlemi yapıldığında sonuç 32 birimkare olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları belirlemek için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
3x2−12x=0  ⟹  3x(x−4)=03x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0 denklemi çözüldüğünde sınırlar x=0x = 0 ve x=4x = 4 olarak bulunur.
Eksenler arasında kalan sınırlı bölgenin başlangıç ve bitiş sınırlarını (integral sınırlarını) tespit etmek için.
2
İntegral alınacak aralıktaki fonksiyonun işaretini belirleyerek alan formülü kurulur.
x∈(0,4)x \in (0, 4) aralığı için f(x)<0f(x) < 0 olduğundan alan formülü Alan=−∫04(3x2−12x) dx\text{Alan} = -\int_{0}^{4} (3x^2 - 12x) \,dx olarak yazılır.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağından önüne eksi işareti konmalıdır.
3
Belirli integral hesaplanır.
−[x3−6x2]04=−((43−6⋅42)−0)=−(64−96)=32-\left[ x^3 - 6x^2 \right]_0^4 = -((4^3 - 6 \cdot 4^2) - 0) = -(64 - 96) = 32 birimkare bulunur.
Sınırlar yerine yazılarak net alan değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Eğrinin x-ekseninin altında kaldığı aralıklarda belirli integral değerinin negatif çıkması ve alan hesabı yapılırken bu değerin mutlak değerinin (veya önüne eksi işareti getirilerek) kullanılması gerektiği.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru