Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Kimyada bir sulu çözeltinin pH değeri, çözeltideki hidrojen iyonu derişimi [H+][H^+] (mol/L) olmak üzere,
pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+]
formülüyle hesaplanır.
AA, BB ve CC sulu çözeltilerinin hidrojen iyonu derişimleri sırasıyla aa, bb ve cc mol/L'dir. Bu çözeltilerin derişimleri arasında,
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4}
ilişkileri bulunmaktadır.

BB çözeltisinin pH değeri 33 olduğuna göre, AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

A çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değer 4'tür.
Logaritma özellikleri ve taban değiştirme kuralları yardımıyla çözeltilerin pH değerleri toplamı 6, çarpımı ise 8 olarak bulunur. Bu iki koşulu sağlayan pH değerleri 2 ve 4 olduğundan, alabileceği en büyük değer 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
B çözeltisinin pH değerini kullanarak log⁡10b\log_{10} b değerini bulunuz.
log⁡10b=−3\log_{10} b = -3
pH tanımı gereği pH=−log⁡10[H+]\text{pH} = -\log_{10} [H^+] şeklindedir. BB çözeltisinin pH değeri 3 olarak verildiği için −log⁡10b=3  ⟹  log⁡10b=−3-\log_{10} b = 3 \implies \log_{10} b = -3 elde edilir.
2
İlk denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin toplamını bulunuz.
pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6
log⁡ba+log⁡bc=2\log_b a + \log_b c = 2 ifadesinde 10 tabanına göre taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10alog⁡10b+log⁡10clog⁡10b=2  ⟹  log⁡10a+log⁡10clog⁡10b=2\frac{\log_{10} a}{\log_{10} b} + \frac{\log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 \implies \frac{\log_{10} a + \log_{10} c}{\log_{10} b} = 2 olur. log⁡10b=−3\log_{10} b = -3 yazıldığında: log⁡10a+log⁡10c=−6\log_{10} a + \log_{10} c = -6 bulunur. pH tanımları gereği (−pHA)+(−pHC)=−6  ⟹  pHA+pHC=6(-\text{pH}_A) + (-\text{pH}_C) = -6 \implies \text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 elde edilir.
3
İkinci denklemde taban değiştirme özelliğini uygulayarak AA ve CC çözeltilerinin pH değerlerinin çarpımını bulunuz.
pHA⋅pHC=8\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8
log⁡ab+log⁡cb=94\log_a b + \log_c b = \frac{9}{4} ifadesinde taban değiştirme uygulanırsa: log⁡10blog⁡10a+log⁡10blog⁡10c=94  ⟹  −3−pHA+−3−pHC=94\frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} + \frac{\log_{10} b}{\log_{10} c} = \frac{9}{4} \implies \frac{-3}{-\text{pH}_A} + \frac{-3}{-\text{pH}_C} = \frac{9}{4} olur. Buradan 3⋅(1pHA+1pHC)=94  ⟹  pHA+pHCpHA⋅pHC=343 \cdot \left(\frac{1}{\text{pH}_A} + \frac{1}{\text{pH}_C}\right) = \frac{9}{4} \implies \frac{\text{pH}_A + \text{pH}_C}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} elde edilir. pHA+pHC=6\text{pH}_A + \text{pH}_C = 6 değeri yerine yazılırsa: 6pHA⋅pHC=34  ⟹  pHA⋅pHC=8\frac{6}{\text{pH}_A \cdot \text{pH}_C} = \frac{3}{4} \implies \text{pH}_A \cdot \text{pH}_C = 8 bulunur.
4
Elde edilen toplam ve çarpım değerlerinden AA çözeltisinin pH değerinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.
4
Toplamları 6, çarpımları 8 olan sayılar t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0 denkleminin kökleridir. Bu kökler çözüldüğünde (t−2)(t−4)=0  ⟹  t=2(t-2)(t-4) = 0 \implies t = 2 ve t=4t = 4 bulunur. Dolayısıyla pH değerleri 2 ve 4'tür. En büyük değer istendiğinden cevap 4 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma taban değiştirme özelliği ve logaritma tanımı
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru