Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizide ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4

olduğuna ve bu dizinin üçüncü terimi 1212 olduğuna göre, dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Dizinin ilk terimi 3'tür.
Verilen geometrik dizi toplam formülünden elde edilen r8−1=17(r4−1)r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) denkleminden ortak çarpan r=2r = 2 bulunur. Üçüncü terim a3=a1⋅r2=12a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 olduğundan a1⋅4=12  ⟹  a1=3a_1 \cdot 4 = 12 \implies a_1 = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim toplamı formülünü S8S_8 ve S4S_4 için yazmak
S8=a1⋅r8−1r−1S_8 = a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} ve S4=a1⋅r4−1r−1S_4 = a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1}
Verilen S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğinde ortak çarpan rr değerini bulabilmek için genel toplam formülünden yararlanılır.
2
S8=17⋅S4S_8 = 17 \cdot S_4 eşitliğini çözerek ortak çarpan rr'yi bulmak
a1⋅r8−1r−1=17⋅a1⋅r4−1r−1  ⟹  r8−1=17(r4−1)  ⟹  (r4−1)(r4+1)=17(r4−1)a_1 \cdot \frac{r^8 - 1}{r - 1} = 17 \cdot a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} \implies r^8 - 1 = 17(r^4 - 1) \implies (r^4 - 1)(r^4 + 1) = 17(r^4 - 1). r≠1r \neq 1 ve terimler pozitif olduğundan, r4+1=17  ⟹  r4=16  ⟹  r=2r^4 + 1 = 17 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 elde edilir.
Ortak çarpan rr belirlenerek dizinin terimleri arasındaki geçiş sağlanır.
3
Dizinin üçüncü terimi a3=12a_3 = 12 bilgisini kullanarak ilk terim olan a1a_1'i bulmak
a3=a1⋅r2  ⟹  12=a1⋅22  ⟹  12=4a1  ⟹  a1=3a_3 = a_1 \cdot r^2 \implies 12 = a_1 \cdot 2^2 \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3
Üçüncü terim ile ilk terim arasındaki a3=a1⋅r2a_3 = a_1 \cdot r^2 ilişkisi kullanılarak ilk terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ilk nn teriminin toplam formülü Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} şeklinde tanımlanır. Bu formül kullanılarak farklı terim toplamları oranlanıp ortak çarpan rr elde edilebilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru