Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar

aa bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12

fonksiyonu yalnızca [x1,x2][x_1, x_2] kapalı aralı��ında azalandır.

x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

a gerçek sayısı 15'tir.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif olduğu için fonksiyon yalnızca kökler arasında azalandır. Kökler toplamı ve farkı ortak çözülerek kökler 1 ve 5 olarak bulunur. Bu kökler türev denklemini sağlayacağından x = 1 için türev sıfıra eşitlenerek a = 15 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x3−9x2+ax+12f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + 12 fonksiyonunun türevini alırız.
f′(x)=3x2−18x+af'(x) = 3x^2 - 18x + a
Bir fonksiyonun artış ve azalış durumlarını belirlemek için fonksiyonun birinci türevi incelenmelidir.
2
Fonksiyonun azalan olduğu aralık ile türevin kökleri arasındaki ilişkiyi kurarız.
x1x_1 ve x2x_2 değerleri 3x2−18x+a=03x^2 - 18x + a = 0 denkleminin kökleridir. Kökler toplamı x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 olur.
Türev fonksiyonunun başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, türev kökler arasında negatif değerler alır ve fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır. İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −b/a-b/a formülü ile hesaplanır.
3
Kökler toplamı ve verilen kökler farkı bilgisini ortak çözerek kökleri elde ederiz.
x1=1x_1 = 1 ve x2=5x_2 = 5
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x2−x1=4x_2 - x_1 = 4 denklemleri taraf tarafa toplandığında 2x2=10  ⟹  x2=52x_2 = 10 \implies x_2 = 5 ve buradan x1=1x_1 = 1 bulunur.
4
x1=1x_1 = 1 kökünü türev fonksiyonunda yerine yazarak a değerini buluruz.
f′(1)=3(1)2−18(1)+a=0  ⟹  a=15f'(1) = 3(1)^2 - 18(1) + a = 0 \implies a = 15
Kökler, türev fonksiyonunu sıfır yapan değerler olduğundan denklemi sağlamak zorundadır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla fonksiyonların artan ve azalan oldu��u aralıkların belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru