1'den büyük x ve y gerçel sayıları için, \log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den büyük

x

y

gerçel sayıları için,

\log_x (y \cdot x^2) + \log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right)

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: 6

İfadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Verilen ifade logaritma özellikleri yardımıyla sadeleştirildiğinde

\log_x y + 9\log_y x

ifadesine ulaşılır.

\log_x y = t

değişken değiştirmesi yapıldığında,

x > 1

y > 1

koşullarından ötürü

t > 0

olur. Bu durumda ifade

t + \frac{9}{t}

biçimini alır. Pozitif sayılar için Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği (

a + b \ge 2\sqrt{ab}

) uygulandığında

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

elde edilir. Dolayısıyla ifadenin alabileceği en küçük değer 6'dır.

Logaritmanın çarpım ve bölüm özelliklerini uygulayarak terimleri ayırın.

\log_x (y \cdot x^2) = \log_x y + 2

\log_y \left(\frac{x^9}{y^2}\right) = 9\log_y x - 2

elde edilir.

Çarpım durumundaki argümanlar toplam, bölüm durumundakiler ise fark olarak yazılabilir.

Terimleri toplayarak ifadeyi sadeleştirin.

\log_x y + 9\log_y x

Sabit terimler olan

+2

-2

birbirini götürür.

Taban değiştirme özelliğini uygulayarak değişken değiştirme yapın.

\log_x y = t

dersek,

\log_y x = \frac{1}{t}

olur. İfade

t + \frac{9}{t}

haline gelir.

x > 1

y > 1

olduğu için

t > 0

'dır.

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

özelliği taban değiştirmede temel bir kuraldır.

Aritmetik ve Geometrik Ortalama eşitsizliğini (AGO) uygulayarak en küçük değeri bulun.

t + \frac{9}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{9}{t}} = 6

Pozitif gerçel sayılar için aritmetik ortalama her zaman geometrik ortalamadan büyük veya eşittir.

Logaritma fonksiyonunun çarpım, bölüm ve taban değiştirme özelliklerinin aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği ile birleştirilmesi.

Soru