Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3x2−6xf(x) = 3x^2 - 6x fonksiyonunun grafiği, xx-ekseni, x=0x = 0 ve x=3x = 3 doğruları arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    0
  2. B
    4
  3. 8Cevap
  4. D
    12
  5. E
    16

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 8 birimkaredir.
Toplam alan hesaplanırken fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı [0,2][0, 2] aralığındaki integralinin negatifi alınarak alan değeri pozitif yapılır ve üstünde kaldığı [2,3][2, 3] aralığındaki integral değeri ile toplanır. Bu durumda toplam alan 4+4=84 + 4 = 8 birimkare olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun xx-eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulmak için f(x)=0f(x) = 0 denklemini çözeriz.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 denklemi çözüldüğünde x=0x = 0 ve x=2x = 2 kökleri elde edilir.
Fonksiyonun hangi aralıklarda xx-ekseninin altında (negatif) veya üstünde (pozitif) kaldığını belirlemek için kökleri bulmamız gerekir.
2
İntegral sınırlarını belirleriz.
[0,2][0, 2] aralığında f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan S1=∫02−f(x) dxS_1 = \int_{0}^{2} -f(x) \, dx olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan S2=∫23f(x) dxS_2 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx olur.
xx-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken belirli integralin değeri negatif çıkacağı için önüne eksi işareti konulmalıdır.
3
Belirli integralleri ayrı ayrı hesaplarız.
S1=∫02(−3x2+6x) dx=[−x3+3x2]02=−8+12=4S_1 = \int_{0}^{2} (-3x^2 + 6x) \, dx = [-x^3 + 3x^2]_0^2 = -8 + 12 = 4 birimkare olarak bulunur. S2=∫23(3x2−6x) dx=[x3−3x2]23=(27−27)−(8−12)=4S_2 = \int_{2}^{3} (3x^2 - 6x) \, dx = [x^3 - 3x^2]_2^3 = (27 - 27) - (8 - 12) = 4 birimkare olarak bulunur.
Her bir alt aralıktaki alan değerini integral alma kurallarını uygulayarak hesaplarız.
4
Bulunan alan değerlerini toplayarak toplam alanı elde ederiz.
Toplam Alan = S1+S2=4+4=8S_1 + S_2 = 4 + 4 = 8 birimkare bulunur.
Toplam alan, her iki bölgenin alanlarının toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Belirli integral yardımıyla eğri ile x-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplama.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru