Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları
f:[4,7]→Rf: [4, 7] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=−x2+6x+10f(x) = -x^2 + 6x + 10
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    13
  2. 21Cevap
  3. C
    22
  4. D
    -14
  5. E
    28

Cevap

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 21'dir.
Doğru cevap olan 21 değeri, fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan 3'ün tanım aralığının solunda kaldığı ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğu için fonksiyonun [4,7][4, 7] aralığında tamamen azalan olmasından kaynaklanır. Böylece en büyük değer sol uçta f(4)=18f(4) = 18, en küçük değer ise sağ uçta f(7)=3f(7) = 3 olarak bulunur ve toplamları 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama
r=−b2a=−62(−1)=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3
Parabolün yönünü ve artan/azalan olduğu aralıkları belirlemek için tepe noktasının apsisi bulunur.
2
Tepe noktasının verilen [4,7][4, 7] tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve fonksiyonun bu aralıktaki karakterini belirleme
3∉[4,7]3 \notin [4, 7] ve a=−1<0a = -1 < 0 olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur. Dolayısıyla fonksiyon x>3x > 3 için azalandır. Bu durumda [4,7][4, 7] aralığındaki fonksiyon tamamen azalandır.
Tanım kümesi sınırlandırılmış fonksiyonlarda en büyük ve en küçük değerler uç noktalarda veya aralığa düşen tepe noktasında oluşur.
3
Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama
En büyük değer sol uçta: f(4)=−(4)2+6(4)+10=−16+24+10=18f(4) = -(4)^2 + 6(4) + 10 = -16 + 24 + 10 = 18.
En küçük değer sağ uçta: f(7)=−(7)2+6(7)+10=−49+42+10=3f(7) = -(7)^2 + 6(7) + 10 = -49 + 42 + 10 = 3.
Azalan bir fonksiyonda en küçük girdi en büyük çıktıyı, en büyük girdi ise en küçük çıktıyı verir.
4
Elde edilen en büyük ve en küçük değerleri toplama
18+3=2118 + 3 = 21
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak amacıyla toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Sınırlandırılmış bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığının kontrol edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru