Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için

g(2)=3g(2) = 3
g′(2)=−2g'(2) = -2
f′(3)=4f'(3) = 4

eşitlikleri sağlanmaktadır.
h(x)=f(g(x2+1))h(x) = f(g(x^2 + 1))

olduğuna göre, h′(1)h'(1) değeri kaçtır?

  1. A
    -8
  2. B
    -4
  3. -16Cevap
  4. D
    4
  5. E
    8

Cevap

Türev değerleri ve zincir kuralı uygulandığında elde edilen sonuç -16'dır.
Verilen h(x)=f(g(x2+1))h(x) = f(g(x^2 + 1)) fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla h′(x)=f′(g(x2+1))⋅g′(x2+1)⋅2xh'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x olarak bulunur. Burada x=1x = 1 yazıldığında h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir. Verilen değerler (g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=−2g'(2) = -2, f′(3)=4f'(3) = 4) yerine yerleştirildiğinde h′(1)=4⋅(−2)⋅2=−16h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türev kuralını (zincir kuralını) uygulayarak h′(x)h'(x) ifadesini bulun.
h′(x)=f′(g(x2+1))⋅g′(x2+1)⋅2xh'(x) = f'(g(x^2 + 1)) \cdot g'(x^2 + 1) \cdot 2x elde edilir.
Bileşke fonksiyon türevi alınırken zincir kuralı gereği dıştan içe doğru türev alınır ve her bir iç fonksiyonun türevi çarpım olarak eklenir.
2
x=1x = 1 değerini türev fonksiyonunda yerine yazın.
h′(1)=f′(g(2))⋅g′(2)⋅2h'(1) = f'(g(2)) \cdot g'(2) \cdot 2 elde edilir.
İstenen h′(1)h'(1) değerini hesaplamak için türev fonksiyonunda bağımsız değişken yerine 11 yazılmalıdır.
3
Verilen g(2)=3g(2) = 3, g′(2)=−2g'(2) = -2 ve f′(3)=4f'(3) = 4 değerlerini yerine koyarak sonucu hesaplayın.
h′(1)=4⋅(−2)⋅2=−16h'(1) = 4 \cdot (-2) \cdot 2 = -16 bulunur.
Bilinen fonksiyon ve türev değerleri yerlerine yazıldıktan sonra çarpma işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonların türevleri dıştaki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru