Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
x2+y2−2x+4y=5xy−x+2y=2\begin{aligned} x^2 + y^2 - 2x + 4y &= 5 \\ xy - x + 2y &= 2 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan tüm (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -8
  2. B
    -5
  3. -4Cevap
  4. D
    0
  5. E
    4

Cevap

Denklem sistemini sağlayan tüm gerçek say�� ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı −4-4 olur.
Doğru cevap olan −4-4 değeri; ikinci denklem çarpanlarına ayrıldığında elde edilen x=−2x = -2 ve y=1y = 1 doğrusal durumlarının birinci denklemde ayrı ayrı yerine yazılmasıyla elde edilen (−2,−1)(-2, -1), (−2,−3)(-2, -3), (0,1)(0, 1) ve (2,1)(2, 1) gerçek sayı ikililerinin koordinatları toplamının farklı değerleri olan −3,−5,1,3-3, -5, 1, 3 sayılarının toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi çarpanlarına ayırarak doğrusal ilişkileri bulma.
xy−x+2y−2=0⇒x(y−1)+2(y−1)=0⇒(x+2)(y−1)=0xy - x + 2y - 2 = 0 \Rightarrow x(y - 1) + 2(y - 1) = 0 \Rightarrow (x + 2)(y - 1) = 0 elde edilir. Buradan x=−2x = -2 veya y=1y = 1 bulunur.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için denklemlerden birini doğrusal çarpanlarına ayırarak değişkenler arası ilişkileri tespit etmek gerekir.
2
x=−2x = -2 durumunu birinci denklemde yerine yazarak yy değerlerini bulma.
(−2)2+y2−2(−2)+4y=5⇒4+y2+4+4y=5⇒y2+4y+3=0⇒(y+1)(y+3)=0(-2)^2 + y^2 - 2(-2) + 4y = 5 \Rightarrow 4 + y^2 + 4 + 4y = 5 \Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0 \Rightarrow (y + 1)(y + 3) = 0 Buradan y=−1y = -1 veya y=−3y = -3 elde edilir. Çözüm ikilileri: (−2,−1)(-2, -1) ve (−2,−3)(-2, -3) olur. Bu ikililer için x+yx + y değerleri sırasıyla −3-3 ve −5-5 olarak bulunur.
Elde edilen ilk doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.
3
y=1y = 1 durumunu birinci denklemde yerine yazarak xx değerlerini bulma.
x2+12−2x+4(1)=5⇒x2+1−2x+4=5⇒x2−2x=0⇒x(x−2)=0x^2 + 1^2 - 2x + 4(1) = 5 \Rightarrow x^2 + 1 - 2x + 4 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 Buradan x=0x = 0 veya x=2x = 2 elde edilir. Çözüm ikilileri: (0,1)(0, 1) ve (2,1)(2, 1) olur. Bu ikililer için x+yx + y değerleri sırasıyla 11 ve 33 olarak bulunur.
Elde edilen ikinci doğrusal değişken ilişkisini birinci denklemde yerine yazarak bu durumu sağlayan tüm gerçek sayı çözümlerine ulaşırız.
4
Elde edilen farklı x+yx + y değerlerini toplama.
Farklı x+yx + y değerleri: −3,−5,1,3-3, -5, 1, 3 olarak belirlenir. Bu değerlerin toplamı: (−3)+(−5)+1+3=−4(-3) + (-5) + 1 + 3 = -4 bulunur.
Soruda bizden istenen tüm farklı toplamların nihai toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde çarpanlara ayırma ve yerine koyma metodu ile çözüm kümesi bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri