Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
1'den büyük aa, bb ve cc gerçel sayıları için a<b<ca < b < c olmak üzere,
log⁡ab+log⁡bc=92\log_a b + \log_b c = \frac{9}{2}
log⁡ba+4log⁡cb=3\log_b a + 4\log_c b = 3
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
log⁡b(a3⋅c)\log_b(a^3 \cdot c)
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    4
  3. 52\frac{5}{2}Cevap
  4. D
    32\frac{3}{2}
  5. E
    212\frac{21}{2}

Cevap

52\frac{5}{2} değeri doğrudur.
Verilen denklem sisteminde a<b<ca < b < c sıralama koşulunu sağlayan tek çözüm x=log⁡ab=3x = \log_a b = 3 ve y=log⁡bc=32y = \log_b c = \frac{3}{2}'dir. Bu değerler yardımıyla log⁡b(a3⋅c)=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = 3\log_b a + \log_b c ifadesi hesaplandığında 3(1/3)+3/2=5/23(1/3) + 3/2 = 5/2 elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma özelliklerini kullanarak değişken dönüşümü yapılması
log⁡ab=x\log_a b = x ve log⁡bc=y\log_b c = y dönüşümleri yapıldığında, taban değiştirme kuralı gereği log⁡ba=1x\log_b a = \frac{1}{x} ve log⁡cb=1y\log_c b = \frac{1}{y} olur. Böylece verilen denklemler x+y=92x + y = \frac{9}{2} ve 1x+4y=3\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 3 şeklinde iki bilinmeyenli bir sisteme dönüşür.
Logaritmik ifadeleri cebirsel olarak daha kolay çözebilmek için.
2
Elde edilen denklem sisteminin çözülmesi
y=92−xy = \frac{9}{2} - x ifadesi ikinci denklemde yerine yazıldığında 1x+89−2x=3\frac{1}{x} + \frac{8}{9-2x} = 3 elde edilir. Paydalar eşlenip düzenlenirse 2x2−7x+3=02x^2 - 7x + 3 = 0 ikinci dereceden denklemi bulunur. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali (2x−1)(x−3)=0(2x - 1)(x - 3) = 0 olup kökleri x=3x = 3 veya x=12x = \frac{1}{2}'dir.
xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak için.
3
Sıralama koşuluna göre geçerli durumun belirlenmesi
x=3x = 3 için log⁡ab=3  ⟹  b=a3\log_a b = 3 \implies b = a^3 ve y=32  ⟹  c=b3/2=a9/2y = \frac{3}{2} \implies c = b^{3/2} = a^{9/2} olur. a>1a > 1 olduğundan a<a3<a9/2a < a^3 < a^{9/2} yani a<b<ca < b < c sıralaması sağlanır. x=12x = \frac{1}{2} için ise b=ab = \sqrt{a} olur ve a>1a > 1 iken b<ab < a olacağından verilen a<b<ca < b < c koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla x=3x = 3 ve y=32y = \frac{3}{2} olmalıdır.
Soruda verilen sıralama kısıtının hangi kök için geçerli olduğunu saptamak için.
4
İstenen logaritmik ifadenin hesaplanması
log⁡b(a3⋅c)=log⁡b(a3)+log⁡bc=3log⁡ba+log⁡bc\log_b(a^3 \cdot c) = \log_b(a^3) + \log_b c = 3\log_b a + \log_b c şeklinde ayrıştırılır. log⁡ab=3  ⟹  log⁡ba=13\log_a b = 3 \implies \log_b a = \frac{1}{3} ve log⁡bc=32\log_b c = \frac{3}{2} değerleri yerine yazıldığında, 3⋅(13)+32=1+32=523 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} bulunur.
Bizden istenen nihai ifadeye ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru