Examkin

Soru

Zorluk: ZorAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı
Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n, bir (bn)(b_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı TnT_n olmak üzere, her nn pozitif tam sayısı için
SnTn=7n+14n+27\frac{S_n}{T_n} = \frac{7n + 1}{4n + 27}
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizilerin 11. terimlerinin oranı olan a11b11\frac{a_{11}}{b_{11}} değeri kaçtır?

  1. A
    32\frac{3}{2}
  2. 43\frac{4}{3}Cevap
  3. C
    54\frac{5}{4}
  4. D
    7871\frac{78}{71}
  5. E
    74\frac{7}{4}

Cevap

Dizilerin 11. terimlerinin oranı 4/3 olarak bulunur.
İlk nn terim toplamı formüllerini oranladığımızda SnTn=a1+n−12d1b1+n−12d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{a_1 + \frac{n-1}{2}d_1}{b_1 + \frac{n-1}{2}d_2} elde edilir. Bizden istenen 11. terimlerin oranı olan a1+10d1b1+10d2\frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için n−12=10\frac{n-1}{2} = 10 eşitliğinden n=21n = 21 bulunur. Verilen orantıda nn yerine 2121 yazıldığında 7⋅21+14⋅21+27=148111=43\frac{7 \cdot 21 + 1}{4 \cdot 21 + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizilerin ilk nn terim toplamı formüllerini kullanarak SnS_n ve TnT_n ifadelerini yazmak.
Sn=n2[2a1+(n−1)d1]S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1] ve Tn=n2[2b1+(n−1)d2]T_n = \frac{n}{2}[2b_1 + (n-1)d_2]
Dizilerin toplamlarını ilk terim ve ortak fark cinsinden ifade etmek.
2
Bu toplamların oranını sadeleştirerek 11. terimlerle ilişkisini kurmak.
SnTn=2a1+(n−1)d12b1+(n−1)d2=a1+(n−12)d1b1+(n−12)d2\frac{S_n}{T_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2b_1 + (n-1)d_2} = \frac{a_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_1}{b_1 + \left(\frac{n-1}{2}\right)d_2}
Ortak çarpan olan n/2n/2 terimlerini sadeleştirip dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d yapısına benzetmek.
3
11. terimlerin oranı olan a11b11=a1+10d1b1+10d2\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{a_1 + 10d_1}{b_1 + 10d_2} ifadesini elde etmek için uygun nn değerini belirlemek.
n−12=10  ⟹  n−1=20  ⟹  n=21\frac{n-1}{2} = 10 \implies n - 1 = 20 \implies n = 21
İstenen terimlerin katsayısı olan 10'u elde etmek için gerekli terim sayısı olan nn değerini bulmak.
4
Bulunan n=21n = 21 değerini verilen toplam oranında yerine yazarak sonuca ulaşmak.
a11b11=7(21)+14(21)+27=148111=43\frac{a_{11}}{b_{11}} = \frac{7(21) + 1}{4(21) + 27} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}
n=21n = 21 için elde edilen oranın 11. terimlerin oranını doğrudan verdiğini bildiğimizden bu değeri hesaplamak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplam formülü ile genel terim arasındaki ilişkinin kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru