1'den farklı x ve y pozitif tam sayıları için, \log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27 x^y = 2^{18}\neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, \log_6(x \cdot y) ifadesinin değeri kaçtır?

1'den farklı x ve y pozitif tam sayıları için, \log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27 … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı

x

y

pozitif tam sayıları için,

\log_2 x + \log_x 8 = \log_3 y + \log_y 27

x^y = 2^{18}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $\log_6(x \cdot y)$ ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 2

İfadenin değeri 2'dir.

Denklemin çarpanlara ayrılmasıyla elde edilen

u=v

durumundan

x=4

y=9

tam sayı değerleri bulunur. Bu değerlerin çarpımı 36 olup, 6 tabanındaki logaritması

\log_6(36) = 2

sonucunu verir.

Değişken tanımlaması ve taban değiştirme kuralının uygulanması

u = \log_2 x

v = \log_3 y

alınarak

\log_x 8 = \frac{3}{u}

\log_y 27 = \frac{3}{v}

yazılır.

Logaritmik ifadeleri ortak değişkenler cinsinden ifade ederek sadeleştirmek.

İlk denklemin düzenlenmesi ve çarpanlara ayrılması

u - v + \frac{3(v-u)}{uv} = 0 \implies (u - v)\left(1 - \frac{3}{uv}\right) = 0

elde edilir.

Denklemin çözümlerini iki ayrı duruma indirgemek.

Eşitlik durumunun (

u = v

) çözülmesi

k \cdot 3^k = 18 \implies k = 2

bulunur. Buradan

x = 2^2 = 4

y = 3^2 = 9

elde edilir.

Pozitif tam sayı kısıtlamasına uygun ilk çözüm kümesini bulmak.

Diğer durumun (

uv = 3

) tam sayı çözümlerinin kontrol edilmesi

y = 6\log_3 y

denkleminin 1'den farklı pozitif tam sayı çözümü olmadığı gösterilir.

Olası tüm durumları inceleyerek çözümün tekliğini garantilemek.

İstenen değerin hesaplanması

\log_6(4 \cdot 9) = \log_6(36) = 2

elde edilir.

Bulunan

x

y

değerlerini hedef ifadede yerine yazmak.

Logaritma fonksiyonlarında taban değiştirme, kuvveti başa alma kuralları ve logaritmik denklem sistemlerinin analitik çözümü.