Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı

Bir [a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve artan bir ff fonksiyonunun [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali, bu aralığın herhangi bir eş bölüntüsüne göre hesaplanan Riemann sol toplamından her zaman büyüktür.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve artan bir fonksiyon için [a,b][a, b] aralığındaki belirli integral, Riemann sol toplamından (alt toplamdan) her zaman büyüktür.
Verilen ifade doğrudur, çünkü sürekli ve artan bir fonksiyon için sol uç noktalar fonksiyonun minimum değerlerini verir. Dolayısıyla Riemann sol toplamı bir alt toplam belirtir ve bu alt toplam integral değerinden kesinlikle küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyonun alt aralıklardaki uç değerlerini belirleme
Her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında f(x)f(x) artan olduğu için en küçük değer sol uçta yani f(xi−1)f(x_{i-1}) noktasında, en büyük değer ise sağ uçta yani f(xi)f(x_i) noktasında alınır.
Artan fonksiyon tanımı gereği, aralıktaki daha k��çük girdiler daha küçük çıktılar üretir.
2
Riemann sol toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki ilişkiyi kurma
Sol uç noktalar kullanılarak hesaplanan Riemann sol toplamı \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x şeklindedir ve bu değer doğrudan Riemann alt toplamına eşittir.
Her alt aralıkta fonksiyonun minimum değeri sol uçta gerçekleştiği için sol toplam alt toplamı verir.
3
Alt toplam ile belirli integral değerini kıyaslama
Sürekli ve artan bir fonksiyon için, integral altındaki alan (belirli integral) ile Riemann alt toplamı arasında \sum_{i=1}^n f(x_{i-1}) \Delta x < \int_a^b f(x) dx ilişkisi vardır.
Grafiksel olarak alt toplamı oluşturan dikdörtgenler tamamen eğrinin altında kalır ve eğri altındaki toplam alandan daha küçük bir alan kaplar.

Anahtar Kavram

Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki eşitsizlik ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru