Examkin

Soru

Zorluk: KolayLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡35=x\log_{3} 5 = x oldu��una göre, log⁡2515\log_{25} 15 ifadesinin xx türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    x+1x2\frac{x+1}{x^2}
  2. B
    2xx+1\frac{2x}{x+1}
  3. x+12x\frac{x+1}{2x}Cevap
  4. D
    x2x+2\frac{x}{2x+2}
  5. E
    x+22x\frac{x+2}{2x}

Cevap

İfadenin xx türünden eşiti x+12x\frac{x+1}{2x} olarak bulunur.
Doğru cevaba ulaşmak için log⁡2515\log_{25} 15 ifadesi taban değiştirme kuralı yardımıyla 3 tabanına çevrilir. Elde edilen log⁡315log⁡325\frac{\log_3 15}{\log_3 25} ifadesinin pay kısmı log⁡3(3⋅5)=1+log⁡35=1+x\log_3 (3 \cdot 5) = 1 + \log_3 5 = 1 + x olarak, payda kısmı ise log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 (5^2) = 2 \log_3 5 = 2x olarak bulunur. Bu değerler oranlandığında doğru sonuç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi, elimizdeki tabana uygun şekilde 3 tabanında yazmak için taban değiştirme kuralı uygulanır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25}
Soruda log⁡35\log_3 5 ifadesinin değeri verildiği için çözümü 3 tabanına indirgemek kolaylık sağlar.
2
Pay kısmındaki log⁡315\log_3 15 ifadesi, 15=3⋅515 = 3 \cdot 5 çarpımı kullanılarak toplam durumuna getirilir.
log⁡315=log⁡3(3⋅5)=log⁡33+log⁡35=1+x\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + x
Logaritmanın içindeki çarpım işlemi, logaritmaların toplamı olarak yazılabilir.
3
Payda kısmındaki log⁡325\log_3 25 ifadesi, 25=5225 = 5^2 kuvveti kullanılarak düzenlenir.
log⁡325=log⁡3(52)=2log⁡35=2x\log_3 25 = \log_3(5^2) = 2 \log_3 5 = 2x
Logaritmanın içindeki ifadenin üssü, logaritmanın başına katsayı olarak çarpım durumunda geçer.
4
Elde edilen pay ve payda değerleri taban değiştirme formülünde yerine yazılır.
log⁡2515=log⁡315log⁡325=x+12x\log_{25} 15 = \frac{\log_3 15}{\log_3 25} = \frac{x+1}{2x}
İfadenin en sade ve xx cinsinden nihai biçimine ulaşmak için parçalar birleştirilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Taban Değiştirme ve Çarpım/Kuvvet Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru