Dik koordinat düzleminde; y = x^2 - 1 eğrisi, x-ekseni, x = 0 ve x = 2 doğruları arasında … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde; $y = x^2 - 1$ eğrisi, $x$ -ekseni, $x = 0$ ve $x = 2$ doğruları arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Sınırlı bölgenin alanı 2 birimkaredir.

Doğru cevap olan 2 değeri, fonksiyonun x-eksenini kestiği

x = 1

noktasından itibaren aralığın ikiye bölünmesi ve x-ekseninin altında kalan

[0, 1]

aralığındaki integral değerinin negatif işaretlisinin alınmasıyla hesaplanır.

Fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.

x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1

x = -1

[0, 2]

aralığına düşen kesim noktası

x = 1

'dir.

İntegral sınırları içerisindeki işaret değişim yerlerini belirlemek için.

Alan hesabı için

[0, 2]

aralığı, fonksiyonun negatif ve pozitif olduğu bölgelere göre

[0, 1]

[1, 2]

olarak iki alt aralığa ayrılır.

A = A_1 + A_2 = \int_{0}^{1} |x^2 - 1| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 - 1| \, dx

x-ekseninin altında kalan bölgelerin integral değeri negatif çıkacağı için alan hesaplanırken bu değerin mutlak değeri veya negatifi alınmalıdır.

[0, 1]

aralığında

x^2 - 1 \leq 0

olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.

A_1 = \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

birimkare.

Negatif bölgedeki alanın pozitif değerini bulmak için.

[1, 2]

aralığında

x^2 - 1 \geq 0

olduğundan bu aralıktaki alan hesaplanır.

A_2 = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}

birimkare.

Pozitif bölgedeki alanı bulmak için.

Elde edilen iki alan değeri toplanır.

A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2

birimkare.

Toplam sınırlı alanı bulmak için.

Belirli integral kullanılarak eğri ile x-ekseni arasında kalan alanın hesabı.

Soru