Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir kenarı düz bir nehir kıyısı boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe, nehre dik olan iki iç bölme çiti yardımıyla üç eş dikdörtgensel bölgeye ayrılacaktır. Bahçenin nehir kıyısındaki kenarında çit kullanılmayacaktır. Bahçenin dış sınırları (nehir kıyısı hariç) ve içindeki iki bölme için toplam 160160 metre çit kullanıldığına göre, bu bahçenin toplam alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Cevap: 1600 m^2

Cevap

Bahçenin alabileceği en büyük alan 1600 metrekaredir.
Bahçenin alanı A(x)=x(160−4x)=−4x2+160xA(x) = x(160 - 4x) = -4x^2 + 160x parabolü ile modellenir. Bu parabol en büyük değerini tepe noktasının ordinatında alır. Tepe noktasının koordinatları (20,1600)(20, 1600) olduğundan maksimum alan 1600 metrekaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Nehre dik olan çit parçalarının sayısını belirleme
Nehre dik toplam 44 çit parçası vardır ve her birinin uzunluğu xx metredir. Toplam uzunlukları 4x4x olur.
Bahçenin iki yan sınırı ve içini bölen iki çit de nehre diktir.
2
Nehre paralel olan kenarı xx cinsinden ifade etme
Nehre paralel kenar y=160−4xy = 160 - 4x olarak bulunur.
Toplam kullanılan çit uzunluğu 160160 metredir.
3
Alan fonksiyonunu oluşturma
Alan fonksiyonu A(x)=−4x2+160xA(x) = -4x^2 + 160x biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyondur.
Dikdörtgenin alanı, dik komşu iki kenarın çarpımıdır.
4
Fonksiyonun en büyük değerini almasını sağlayan xx değerini bulma
Tepe noktasının apsisi r=20r = 20 olarak bulunur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değeri tepe noktasındadır.
5
Maksimum alan değerini hesaplama
En büyük alan A(20)=1600A(20) = 1600 metrekaredir.
Bulunan tepe noktası apsisi alan fonksiyonunda yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktası ordinatı (k=f(r)k = f(r)) yardımıyla en büyük değerinin bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru