Pozitif terimli bir (a_n) geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n ile gösterilmekt… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif terimli bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_6 = 21 \cdot S_2

ve bu dizinin ilk terimi $a_1 = 5$ olduğuna göre, dizinin ilk $5$ teriminin toplamı ( $S_5$ ) kaçtır?

Cevap: 155

Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 155'tir.

Geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülü kullanılarak

S_6 / S_2

oranı sadeleştirilmiş, elde edilen

r^4 + r^2 - 20 = 0

denkleminden dizinin pozitif terimli olması şartıyla ortak çarpan

r = 2

olarak bulunmuştur. Daha sonra

a_1 = 5

r = 2

değerleri

S_5

formülünde yerine yazılarak doğru sonuç olan 155 elde edilmiştir.

S_6

S_2

toplamlarını geometrik dizi toplam formülüyle oranlama

\frac{S_6}{S_2} = r^4 + r^2 + 1

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n-1}{r-1}

formülünü uygulayarak ortak terimleri sadeleştirmek.

Verilen oranı kullanarak

r^2

cinsinden ikinci dereceden bir denklem elde etme

r^4 + r^2 - 20 = 0

\frac{S_6}{S_2} = 21

eşitliğini denklemde yerine koymak.

Denklemi çözerek ortak çarpan

r

'yi bulma

r = 2

(r^2-4)(r^2+5)=0

çarpanlara ayırmasından

r^2=4

ve pozitif terimli dizi şartından

r=2

elde edilir.

İlk terim

a_1=5

r=2

değerleriyle

S_5

toplamını hesaplama

S_5 = 155

S_5 = a_1 \cdot \frac{r^5-1}{r-1}

formülünü uygulamak.

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülü ve sadeleştirme yöntemleri

Soru