Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir dijital yayın platformunun aylık abonelik ücreti 8080 TL olarak belirlendiğinde platformun aylık toplam abone sayısı 200 000200\,000 kişi olmaktadır. Platform yönetimi, aylık abonelik ücretinde yapılan her 22 TL'lik indirim için abone sayısının 10 00010\,000 kişi artacağını öngörmektedir. Buna göre, bu platformun aylık toplam abonelik gelirinin en fazla olması için aylık abonelik ücreti kaç TL olmalıdır?

  1. A
    40
  2. B
    50
  3. 60Cevap
  4. D
    70
  5. E
    80

Cevap

Platformun aylık toplam abonelik gelirini en fazla yapmak için belirlenmesi gereken aylık abonelik ücreti 60 TL'dir.
Toplam abonelik geliri fonksiyonu G(x)=10 000(−2x2+40x+1600)G(x) = 10\,000(-2x^2 + 40x + 1600) şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan grafiği kolları aşağı doğru olan bir paraboldür ve en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi r=−402⋅(−2)=10r = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olarak bulunur. Maksimum geliri sağlayan aylık abonelik ücreti ise 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Abonelik ücretinde yapılacak indirim sayısını bir değişkenle ifade etme.
Yapılacak indirim sayısı xx olsun. Her indirim 22 TL olduğuna göre, yeni abonelik ücreti 80−2x80 - 2x TL olur.
Ücret ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için.
2
İndirim sayısına bağlı olarak yeni abone sayısını veren ifadeyi yazma.
Her indirim için abone sayısı 10 00010\,000 kişi arttığına göre, xx indirim sonrası yeni abone sayısı 200 000+10 000x=10 000(20+x)200\,000 + 10\,000x = 10\,000(20 + x) kişi olur.
Abone sayısı ile indirim sayısı arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.
3
Aylık toplam gelir fonksiyonunu oluşturma.
Aylık gelir fonksiyonu G(x)=(80−2x)⋅10 000(20+x)=10 000⋅(−2x2+40x+1600)G(x) = (80 - 2x) \cdot 10\,000(20 + x) = 10\,000 \cdot (-2x^2 + 40x + 1600) olarak elde edilir.
Toplam geliri, birim ücret ile toplam abone sayısının çarpımı şeklinde modellemek için.
4
Oluşan parabolün maksimum değerini aldığı tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama.
G(x)G(x) fonksiyonunu maksimum yapan xx değeri, parabolün tepe noktasının apsisidir: r=−b2a=−402⋅(−2)=10r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 olur.
Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değerini tepe noktasında aldığını bilerek en uygun indirim sayısını bulmak için.
5
Maksimum gelir için belirlenmesi gereken abonelik ücretini hesaplama.
x=10x = 10 için yeni abonelik ücreti 80−2(10)=6080 - 2(10) = 60 TL olarak hesaplanır.
Bulunan en uygun indirim sayısını abonelik ücreti denkleminde yerine yazmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) en büyük veya en küçük değer uygulamalarında tepe noktasının koordinatları kullanılır. Kollar aşağı doğru olan bir parabolde en büyük değer, tepe noktasının apsisi olan r=−b/(2a)r = -b/(2a) değeri fonksiyon yerine yazılarak elde edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru