27^{\frac{1}{\log_2 3}} + 16^{\frac{1}{\log_3 2}} - 5^{\frac{2}{\log_2 5}} ifadesinin değe… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

27^{\frac{1}{\log_2 3}} + 16^{\frac{1}{\log_3 2}} - 5^{\frac{2}{\log_2 5}}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 85

Verilen logaritmik ifadenin sadeleştirilmiş değeri 85 olarak bulunur.

İfadedeki terimler tek tek taban değiştirme kuralı (

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

) kullanılarak düzenlenmiştir. Düzenlenen terimler sırasıyla

3^{\log_3 8}

2^{\log_2 81}

5^{\log_5 4}

haline getirilmiş, ardından

a^{\log_a b} = b

kuralıyla

8 + 81 - 4 = 85

sonucuna ulaşılmıştır.

Taban değiştirme kuralı yardımıyla paydadaki logaritmalı terimleri pay kısmına geçirin.

\frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2

\frac{1}{\log_3 2} = \log_2 3

\frac{1}{\log_2 5} = \log_5 2

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

özelliği gereği taban ve argüman yer değiştirir.

Elde edilen ifadeleri yerlerine yazarak üslü tabanları logaritma tabanları cinsinden kuvvet olarak ifade edin.

(3^3)^{\log_3 2} + (2^4)^{\log_2 3} - 5^{2\log_5 2}

27 = 3^3

16 = 2^4

yazarak sadeleşmeyi kolaylaştırmak hedeflenir.

Kuvvetlerin çarp��mı özelliğini ve

k \cdot \log_a b = \log_a b^k

özelliğini kullanarak ifadeleri sadeleştirin.

3^{\log_3 8} + 2^{\log_2 81} - 5^{\log_5 4}

(x^m)^n = x^{m \cdot n}

ve logaritma katsayı kuralı uygulanmıştır.

a^{\log_a b} = b

özelliğini kullanarak her bir terimin değerini hesaplayın ve işlemi tamamlayın.

8 + 81 - 4 = 85

Logaritmik üslerin temel sadeleşme kuralı uygulanarak tam sayı değerleri elde edilmiştir.

Logaritmada taban değiştirme ve üslü sayı özellikleri ile ilişkilendirilmesi

Alternatif olarak,

a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

özelliği doğrudan kullanılabilir:
-

27^{\log_3 2} = 2^{\log_3 27} = 2^3 = 8

16^{\log_2 3} = 3^{\log_2 16} = 3^4 = 81

5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 4} = 4^{\log_5 5} = 4^1 = 4

Buradan

8 + 81 - 4 = 85

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru