Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir kimyasal reaksiyonun hızı (gr/sn cinsinden), ortam sıcaklığı TT (°C) olmak üzere, 5≤T≤95 \leq T \leq 9 kapalı aralığında

V(T)=−T2+8T+12V(T) = -T^2 + 8T + 12

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu reaksiyonun belirtilen sıcaklık aralığındaki en yüksek hızı kaç gr/sn'dir?

  1. A
    3
  2. B
    12
  3. 27Cevap
  4. D
    28
  5. E
    4

Cevap

Reaksiyonun belirtilen aralıktaki en yüksek hızı 27 gr/sn'dir.
Verilen reaksiyon hızı fonksiyonu V(T) = -T^2 + 8T + 12 bir parabol belirtir. Bu parabolün kolları aşağı doğrudur (a = -1 < 0). Tepe noktasının apsisi r = -8 / (2 * -1) = 4 olarak bulunur. Ancak sıcaklık aralığı [5, 9] olarak tanımlanmıştır ve r = 4 bu aralığa dahil değildir. Parabol, r = 4 noktasının sağındaki tüm T değerleri için azalan bir grafik çizer. Dolayısıyla [5, 9] aralığında fonksiyon tamamen azalandır ve en büyük değerini aralığın en solundaki T = 5 değerinde alır. T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27 gr/sn elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün tepe noktasının apsisini (r) hesaplayın.
r = 4
Tepe noktasının verilen aralıkta olup olmadığını kontrol etmek amacıyla apsis değeri r = -b/(2a) formülüyle bulunur.
2
Tepe noktasının apsisi olan 4 değerinin [5, 9] aralığında olup olmadığını kontrol edin.
4 sayısı [5, 9] aralığının dışındadır.
Tepe noktası aralığın dışındaysa, fonksiyon bu aralıkta daima artan veya daima azalandır. Bu durumda en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında bulunur.
3
Aralığın uç noktaları olan T = 5 ve T = 9 değerlerini fonksiyon denkleminde yerine yazın.
T = 5 için V(5) = -25 + 40 + 12 = 27; T = 9 için V(9) = -81 + 72 + 12 = 3
Uç noktalardaki hız değerlerini karşılaştırarak maksimum hızı belirlemek için.
4
Elde edilen sonuçları karşılaştırarak en büyük değeri belirleyin.
27 > 3 olduğundan, maksimum hız 27 gr/sn'dir.
Fonksiyon T = 4'ten büyük değerler için azalan olduğundan, aralığın sol ucunda en büyük değerine ulaşır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün sınırlı bir kapalı aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisi kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, en büyük ve en küçük değerler aralığın uç noktalarında aranır.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru