Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı

Pozitif bir aa gerçel sayısı için [0,2][0, 2] kapalı aralığında tanımlı f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı AA birimkaredir. [0,2][0, 2] aralığı 22 eş alt aralığa bölünerek ff fonksiyonu için bir Riemann üst toplamı UU hesaplanıyor. U−A=7U - A = 7 birimkare olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

  1. A
    22
  2. 33Cevap
  3. C
    44
  4. D
    215\frac{21}{5}
  5. E
    66

Cevap

Doğru cevap 3'tür.
Pozitif aa değeri için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] kapalı aralığında artandır. Riemann üst toplamı, alt aralıkların sağ uç noktalarındaki fonksiyon değerleri ile hesaplanır: U=1⋅(f(1)+f(2))=5a+2U = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = 5a + 2. Eğrinin altında kalan alan ise belirli integral ile hesaplandığında A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2 bulunur. İki değerin farkı U−A=7a3=7U - A = \frac{7a}{3} = 7 eşitliğinden a=3a = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğinin ve alt aralıkların belirlenmesi
Δx=1\Delta x = 1 ve aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2]
[0,2][0, 2] aralığı 22 eş parçaya bölündüğü için her bir alt aralığın genişliği Δx=2−02=1\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1 olur. Bu durumda bölüntü noktaları x0=0x_0 = 0, x1=1x_1 = 1 ve x2=2x_2 = 2 şeklindedir.
2
Riemann üst toplamının (UU) aa cinsinden hesaplanması
U=5a+2U = 5a + 2
a>0a > 0 olduğu için f(x)=ax2+1f(x) = ax^2 + 1 fonksiyonu [0,2][0, 2] aralığında sürekli artandır. Dolayısıyla her bir alt aralıktaki maksimum değer sağ uç noktalarda alınır. Riemann üst toplamı: U=Δx⋅(f(1)+f(2))=1⋅((a⋅12+1)+(a⋅22+1))=5a+2U = \Delta x \cdot (f(1) + f(2)) = 1 \cdot ((a \cdot 1^2 + 1) + (a \cdot 2^2 + 1)) = 5a + 2 olur.
3
Eğri altında kalan alanın (AA) belirli integral ile aa cinsinden hesaplanması
A=8a3+2A = \frac{8a}{3} + 2
Eğri ile xx ekseni arasında kalan alan, fonksiyonun [0,2][0, 2] aralığındaki belirli integraline eşittir: A=∫02(ax2+1) dx=[ax33+x]02=(a⋅233+2)−0=8a3+2A = \int_0^2 (ax^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{ax^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{a \cdot 2^3}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8a}{3} + 2 olur.
4
U−A=7U - A = 7 denkleminin çözülerek aa değerinin bulunması
a=3a = 3
Verilen U−A=7U - A = 7 eşitliğinde bulduğumuz ifadeleri yerine yazalım: (5a+2)−(8a3+2)=7  ⟹  5a−8a3=7  ⟹  15a−8a3=7  ⟹  7a3=7  ⟹  a=3(5a + 2) - \left( \frac{8a}{3} + 2 \right) = 7 \implies 5a - \frac{8a}{3} = 7 \implies \frac{15a - 8a}{3} = 7 \implies \frac{7a}{3} = 7 \implies a = 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Riemann üst toplamı ile belirli integralin temsil ettiği alan ilişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru