Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot
Dik koordinat düzleminde, aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere,
f(x)=acos⁡(bx)+cf(x) = a\cos(bx) + c
fonksiyonunun grafiğinin ardışık bir maksimum noktası ile bir minimum noktasının yy koordinatları sırasıyla 55 ve −1-1'dir.

Bu iki noktanın apsisleri arasındaki fark π4\frac{\pi}{4} birim olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

Doğru cevap 9'dur.
Verilen maksimum ve minimum ordinat değerlerinden a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklemleri kurulur; buradan a=3a = 3 ve c=2c = 2 bulunur. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay uzaklık periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b} birimdir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} eşitliğinden b=4b = 4 elde edilir. Sonuç olarak a+b+c=3+4+2=9a + b + c = 3 + 4 + 2 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Maksimum ve minimum noktalarının y koordinatlarını kullanarak aa ve cc değerlerini bulunuz.
c=2c = 2 ve a=3a = 3 bulunur.
a>0a > 0 olduğundan, cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun maksimum değeri olan 11 için f(x)f(x) en büyük değerini (a+ca + c), minimum değeri olan −1-1 için ise en küçük değerini (−a+c-a + c) alır. a+c=5a + c = 5 ve −a+c=−1-a + c = -1 denklem sistemi çözüldüğünde bu değerler elde edilir.
2
Ardışık maksimum ve minimum noktaları arasındaki mesafenin periyodun yarısı olduğunu kullanarak bb değerini bulunuz.
b=4b = 4 elde edilir.
cos⁡(bx)\cos(bx) fonksiyonunun periyodu T=2πbT = \frac{2\pi}{b}'dir. Ardışık bir maksimum ve minimum noktası arasındaki yatay mesafe periyodun yarısı olan πb\frac{\pi}{b}'ye eşittir. πb=π4\frac{\pi}{b} = \frac{\pi}{4} olduğundan b=4b = 4 bulunur.
3
a+b+ca + b + c toplamını hesaplayınız.
3+4+2=93 + 4 + 2 = 9 bulunur.
Bulunan a=3a = 3, b=4b = 4 ve c=2c = 2 değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların periyotları ve grafiklerindeki maksimum/minimum noktalarının apsis ve ordinat değerleriyle olan ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ve Periyot

Bu konudan daha fazla soru