Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
f(x)=x33−9x2+45x+4f(x) = \frac{x^3}{3} - 9x^2 + 45x + 4

fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−2x)g(x) = f(x^2 - 2x) fonksiyonunun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 13

Cevap

Verilen fonksiyonun azalan olduğu aralıklardaki pozitif tam sayıların toplamı 13'tür.
Zincir kuralı yardımıyla g'(x) fonksiyonunun türevi alınıp çarpanlarına ayrıldığında kökler -3, -1, 1, 3, 5 olarak bulunur. İşaret tablosunda g'(x)'in negatif olduğu bölgelerdeki pozitif tam sayılar 1, 3, 4, 5'tir ve toplamları 13 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevini alıp çarpanlarına ayırın.
f′(x)=x2−18x+45=(x−3)(x−15)f'(x) = x^2 - 18x + 45 = (x - 3)(x - 15)
Bileşke fonksiyonun türevinde kullanmak üzere f' fonksiyonunun kuralını elde etmek.
2
Zincir kuralını uygulayarak g'(x) türevini yazın.
g′(x)=(2x−2)⋅f′(x2−2x)g'(x) = (2x - 2) \cdot f'(x^2 - 2x)
g(x) fonksiyonunun artanlık ve azalanlık durumunu incelemek için türev fonksiyonunu bulmak.
3
f' fonksiyonunda x yerine x^2 - 2x yazarak g'(x) ifadesini tamamen çarpanlarına ayır��n.
g′(x)=2(x−1)(x2−2x−3)(x2−2x−15)=2(x−1)(x−3)(x+1)(x−5)(x+3)g'(x) = 2(x - 1)(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 15) = 2(x - 1)(x - 3)(x + 1)(x - 5)(x + 3)
Türev fonksiyonunun köklerini bulmak için ifadeyi doğrusal çarpanlarına ayırmak.
4
g'(x) = 0 denkleminin köklerini bulun ve küçükten büyüğe sıralayın.
Kökler: −3,−1,1,3,5-3, -1, 1, 3, 5
İşaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek.
5
g'(x) için işaret tablosu oluşturarak azalanlık (g′(x)≤0g'(x) \leq 0) aralıklarını belirleyin.
Azalan aralıklar: (−∞,−3]∪[−1,1]∪[3,5](-\infty, -3] \cup [-1, 1] \cup [3, 5]
Türevin negatif veya sıfır olduğu bölgeler fonksiyonun azalan olduğu bölgelerdir.
6
Belirlenen aralıklardaki pozitif tam sayıları toplayın.
1+3+4+5=131 + 3 + 4 + 5 = 13
Soruda istenen pozitif tam sayıların toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, türevinin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklardır. Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru