Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı

f:[2,8]→Rf: [2, 8] \rightarrow \mathbb{R} sürekli ve artan bir fonksiyondur. [2,8][2, 8] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bir PP bölüntüsü oluşturuluyor.

Bu bölüntüye göre; ff fonksiyonunun [2,8][2, 8] aralığındaki Riemann alt toplamı AA, Riemann üst toplamı UU ve belirli integral değeri I=∫28f(x) dxI = \int_{2}^{8} f(x) \, dx olarak tanımlanıyor.

Buna göre;

I. A<I<UA < I < U
II. U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big)
III. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için U−A=40U - A = 40 olur.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.
Sürekli ve artan bir fonksiyonda Riemann alt toplamı belirli integralden küçük, Riemann üst toplamı ise büyüktür. Bu nedenle A<I<UA < I < U ifadesi her zaman doğrudur. Riemann üst ve alt toplamlarının farkı ise U−A=(f(8)−f(2))⋅ΔxU - A = (f(8) - f(2)) \cdot \Delta x formülüyle bulunur. Eşit aralıklı bölüntüde Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8-2}{n} = \frac{6}{n} olduğundan U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot (f(8) - f(2)) elde edilir ve bu ifade de her zaman doğrudur. n=3n = 3 ve f(x)=x2f(x) = x^2 için fark (f(8)−f(2))⋅63=(64−4)⋅2=120(f(8) - f(2)) \cdot \frac{6}{3} = (64 - 4) \cdot 2 = 120 olur, dolayısıyla üçüncü öncül yanlıştır. Bu yüzden doğru cevap 'I ve II' öncüllerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık özelliğine göre Riemann toplamları ile integral değerinin büyüklük ilişkisini belirlemek.
A<I<UA < I < U eşitsizliğinin her zaman doğru olduğu bulunur.
ff fonksiyonu sürekli ve artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun minimum de��eri sol uçta, maksimum değeri ise sağ uçta alınır. Bu durum alt toplamın integralden küçük, üst toplamın ise integralden büyük olmasını gerektirir.
2
Riemann üst toplamı ile alt toplamı arasındaki farkın genel formülünü türetmek.
U−A=6n⋅(f(8)−f(2))U - A = \frac{6}{n} \cdot \big(f(8) - f(2)\big) elde edilir.
Eş alt aralık genişliği Δx=8−2n=6n\Delta x = \frac{8 - 2}{n} = \frac{6}{n} dir. Alt toplam sol uç değerleriyle, üst toplam ise sağ uç değerleriyle hesaplanır. Fark alındığında aradaki tüm terimler sadeleşir ve geriye yalnızca sınır değerleri kalır: (f(8)−f(2))⋅Δx(f(8) - f(2)) \cdot \Delta x.
3
Üçüncü öncülde verilen özel durumu formül yardımıyla hesaplamak.
U−A=120U - A = 120 bulunur.
n=3n = 3 için Δx=2\Delta x = 2 olur. f(x)=x2f(x) = x^2 için f(8)=64f(8) = 64 ve f(2)=4f(2) = 4 olduğundan fark (64−4)⋅2=120(64 - 4) \cdot 2 = 120 olur. Öncüldeki 40 değeri yanlıştır.

Anahtar Kavram

Riemann alt ve üst toplamlarının belirli integral ile ilişkisi ve aralarındaki farkın hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru