Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 g(f(x)) = 2x^2 + 1\neşitlikleri sağlanmaktadır. f(2) = 2 ve f'(2) = 4 olduğuna göre, f'(9) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(g(x))… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

g

fonksiyonları için

f(g(x)) = x^2 + 2x + 1

g(f(x)) = 2x^2 + 1

eşitlikleri sağlanmaktadır.

$f(2) = 2$ ve $f'(2) = 4$ olduğuna göre, $f'(9)$ değeri kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür.

Bileşke fonksiyonların türevleri zincir kuralı uyarınca alınmalıdır. İkinci denklemin türevi olan g'(f(x)) * f'(x) = 4x eşitliğinde verilen f'(2) = 4 değeri yerine koyulduğunda g'(2) = 2 bulunur. İlk denklemin türevi olan f'(g(x)) * g'(x) = 2x + 2 eşitliğinde g(2) = 9 ve g'(2) = 2 değerleri kullanıldığında f'(9) * 2 = 6 elde edilir ve buradan f'(9) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinde x = 2 yazarak g(2) değerini bulmak.

g(2) = 9

İlk eşitlikte f'(g(2)) terimini elde etmek ve g(2) değerinin neye eşit olduğunu saptamak.

f(g(x)) = x^2 + 2x + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.

f'(9) * g'(2) = 6

İstenen f'(9) terimini içeren bir türev denklemi oluşturmak.

g(f(x)) = 2x^2 + 1 eşitliğinin türevini alıp x = 2 yazmak.

g'(2) * f'(2) = 8

Bilinmeyen g'(2) değerini bulmamızı sağlayacak ikinci bir türev denklemi elde etmek.

f'(2) = 4 değerini g'(2) * f'(2) = 8 denkleminde yerine yazıp g'(2) değerini çözmek.

g'(2) = 2

f'(9) değerine ulaşmak için zincir kuralından gelen içteki fonksiyonun türev değerini hesaplamak.

g'(2) = 2 değerini f'(9) * g'(2) = 6 denkleminde yerine yazıp f'(9) değerini bulmak.

f'(9) = 3

Soruda bizden istenen nihai türev değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralının uygulanması ve fonksiyon değerlerinin yerine yazılması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru