Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=2x3−3(a+2)x2+12ax+1f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax + 1
fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi 44 olduğuna göre, bu fonksiyonun yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
  1. A
    19
  2. B
    35
  3. 43Cevap
  4. D
    37
  5. E
    41

Cevap

Yerel maksimum noktasının koordinatları toplamı 43'tür.
Türevin işaret tablosundan yerel minimum apsisinin 4 olması için parametrenin 4 olması gerektiği bulunur. Bu durumda yerel maksimum noktası (2, 41) olur ve koordinatları toplamı 43 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alalım.
f′(x)=6x2−6(a+2)x+12af'(x) = 6x^2 - 6(a+2)x + 12a
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktaların�� bulmak için öncelikle fonksiyonun türevi hesaplanmalıdır.
2
Türevi sıfıra eşitleyen kritik noktaları çarpanlara ayırarak bulalım.
6(x2−(a+2)x+2a)=0  ⟹  6(x−2)(x−a)=06(x^2 - (a+2)x + 2a) = 0 \implies 6(x-2)(x-a) = 0. Kökler x=2x = 2 ve x=ax = a olarak bulunur.
Türevi sıfır yapan noktalar fonksiyonun yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyerek yerel minimum noktasının apsisini belirleyelim.
Soruda yerel minimum noktasının apsisi 44 olarak verilmiştir. Eğer a<2a < 2 olsaydı, yerel minimum noktası x=2x = 2 olurdu. Dolayısıyla a>2a > 2 olmalıdır ve yerel minimum noktası x=a=4x = a = 4 olur. Bu durumda yerel maksimum noktası x=2x = 2 apsisli noktadır.
Türevin işaret değiştirdiği noktalar yerel ekstremum noktalarıdır ve işaretin eksiye geçip sonra artıya döndüğü yer yerel minimumdur.
4
a=4a = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak fonksiyonun denklemini güncelleyelim.
f(x)=2x3−18x2+48x+1f(x) = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1
Fonksiyonun yerel maksimum noktasının ordinatını hesaplayabilmek için fonksiyonun tam denklemini elde etmemiz gerekir.
5
Yerel maksimum noktasının ordinatını ve koordinatları toplamını bulalım.
Yerel maksimum apsisi x=2x = 2 olduğuna göre ordinat f(2)=2(8)−18(4)+48(2)+1=41f(2) = 2(8) - 18(4) + 48(2) + 1 = 41 olur. Koordinatlar toplamı ise 2+41=432 + 41 = 43 olarak hesaplanır.
Yerel maksimum noktasının koordinatları (2,41)(2, 41) şeklindedir.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla yerel ekstremum noktalarının bulunması ve türevin işaret tablosunun yorumlanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru