Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
11'den farklı xx ve yy pozitif gerçel sayıları için,
log⁡3x+log⁡xy=4\log_3 x + \log_x y = 4
log⁡y3+log⁡3y=103\log_y 3 + \log_3 y = \frac{10}{3}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx gerçel sayılarının çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    343^4
  2. B
    363^6
  3. 383^8Cevap
  4. D
    393^9
  5. E
    3123^{12}

Cevap

Eşitlikleri sağlayan tüm farklı xx değerlerinin çarpımı 383^8 olarak bulunur.
Sorudaki sistem çözüldüğünde log⁡3y\log_3 y değeri için 33 ve 1/31/3 olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkar. Her iki durum için log⁡3x\log_3 x değişkenine bağlı elde edilen ikinci dereceden denklemlerin kökler toplamı Vieta formülünden 44 olarak bulunur. Köklerin toplamı 88 olduğundan, xx değerlerinin çarpımı 383^8 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemde değişken dönüşümü yapılması
w+1w=103  ⟹  3w2−10w+3=0w + \frac{1}{w} = \frac{10}{3} \implies 3w^2 - 10w + 3 = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3y=w\log_3 y = w dönüşümü yapıldığında log⁡y3=1w\log_y 3 = \frac{1}{w} olur.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin çözülmesi
(3w−1)(w−3)=0  ⟹  w=3 veya w=13(3w - 1)(w - 3) = 0 \implies w = 3 \text{ veya } w = \frac{1}{3} bulunur.
log⁡3y\log_3 y ifadesinin alabileceği olası değerleri bulmak amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
3
Birinci denklemde taban değiştirme kuralının uygulanması
log⁡xy=log⁡3ylog⁡3x=wu  ⟹  u+wu=4  ⟹  u2−4u+w=0\log_x y = \frac{\log_3 y}{\log_3 x} = \frac{w}{u} \implies u + \frac{w}{u} = 4 \implies u^2 - 4u + w = 0 denklemi elde edilir.
log⁡3x=u\log_3 x = u dönüşümü yapılarak denklem tek bir değişken cinsinden ifade edilir.
4
İki farklı ww durumu için kökler toplamının incelenmesi
w=3  ⟹  u2−4u+3=0  ⟹  u1+u2=4w = 3 \implies u^2 - 4u + 3 = 0 \implies u_1 + u_2 = 4
w=13  ⟹  3u2−12u+1=0  ⟹  u3+u4=4w = \frac{1}{3} \implies 3u^2 - 12u + 1 = 0 \implies u_3 + u_4 = 4
Toplam kökler toplamı: u1+u2+u3+u4=8u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 8 olur.
Vieta formüllerine göre x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminde kökler toplamı SS'dir. Her iki durumda da diskriminant sıfırdan büyük olduğundan tüm kökler gerçeldir.
5
xx değerlerinin çarpımının hesaplanması
x1⋅x2⋅x3⋅x4=3u1⋅3u2⋅3u3⋅3u4=3u1+u2+u3+u4=38x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = 3^{u_1} \cdot 3^{u_2} \cdot 3^{u_3} \cdot 3^{u_4} = 3^{u_1 + u_2 + u_3 + u_4} = 3^8
u=log⁡3x  ⟹  x=3uu = \log_3 x \implies x = 3^u ilişkisi kullanılarak çarpım, tabanları aynı olan üslü sayıların üslerinin toplanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunda taban değiştirme özelliği ve logaritmik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülerek çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru