1'den farklı bir x pozitif gerçel sayısı için, \log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \l… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

1'den farklı bir

x

pozitif gerçel sayısı için,

\log_2 x \cdot \log_3 x + \log_3 x \cdot \log_5 x + \log_5 x \cdot \log_2 x = \log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $x$ değeri kaçtır?

Cevap: 30

Verilen logaritmik denklemin çözümü sonucunda elde edilen

x

değeri 30'dur.

Verilen denklemin her iki tarafı

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

ifadesine bölündüğünde

\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1

eşitliği elde edilir. Taban değiştirme kuralı uygulandığında bu ifade

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

şekline dönüşür. Logaritma özellikleri gereği sol taraf

\log_x(5 \cdot 2 \cdot 3) = \log_x 30

olur. Buradan

\log_x 30 = 1

eşitliği elde edilir ki bu da

x = 30

anlamına gelir.

Eşitliğin her iki tarafını

\log_2 x \cdot \log_3 x \cdot \log_5 x

ifadesine bölün.

\frac{1}{\log_5 x} + \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x} = 1

Logaritmik çarpımları daha basit ifadelere dönüştürmek için her iki taraf sıfırdan farklı olan ortak çarpıma b��lünür.

Taban değiştirme özelliğini uygulayın.

\log_x 5 + \log_x 2 + \log_x 3 = 1

\frac{1}{\log_a b} = \log_b a

kuralı kullanılarak tüm terimler aynı tabanda (

x

tabanında) yazılır.

Logaritma toplama kuralını uygulayın ve logaritma tan��mından

x

'i bulun.

\log_x (5 \cdot 2 \cdot 3) = 1 \Rightarrow \log_x 30 = 1 \Rightarrow x^1 = 30 \Rightarrow x = 30

Aynı tabandaki logaritmaların toplamı, argümanların çarpımına eşittir. Buradan elde edilen

\log_x 30 = 1

ifadesi

x = 30

sonucunu verir.

Logaritma taban değiştirme kuralı ve logaritma toplam-çarpım özelliği

Soru