Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRiemann Toplamı
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığı eş alt aralıklara bölünerek elde edilen her Riemann üst toplamı, ∫153x dx\int_1^5 3^x \, dx belirli integralinin değerinden büyüktür.

Cevap: Cevap

Cevap

Doğru
Verilen fonksiyon sürekli artan olduğundan, her alt aralıkta fonksiyonun alacağı en büyük değer sağ uç noktada gerçekleşir. Bu sağ uç noktalarla oluşturulan Riemann üst toplamı, integralin temsil ettiği alanın her zaman üstünde kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunun belirlenmesi.
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡(3)>0f'(x) = 3^x \ln(3) > 0 olduğundan, fonksiyon [1,5][1, 5] aralığında sürekli artandır.
Riemann toplamları ile integral arasındaki ilişkiyi belirlemek için fonksiyonun yönü tespit edilmelidir.
2
Riemann üst toplamı tanımının artan fonksiyonlar için incelenmesi.
Artan bir fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değeri o aralığın sağ ucunda gerçekleşir. Riemann üst toplamı da sağ uç değerlerle hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamı olduğundan, bu toplam integral eğrisinin üzerinde kalan alanları da kapsar.
Üst toplamın integral ile olan geometrik ilişkisini kurmak için.
3
Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisinin yazılması.
Her PP bölüntüsü için Riemann üst toplamı U¨(f,P)>∫153x dxÜ(f, P) > \int_1^5 3^x \, dx eşitsizliğini sağlar. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
İfadenin doğruluk değerini kesin olarak tayin etmek için.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonların Riemann üst toplamı ile belirli integral arasındaki ilişki
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru