Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir teknoloji firması, geliştirdiği yeni bir mobil uygulamanın günlük kârını (bin TL cinsinden) lansmandan sonraki xx. günde elde edilen verilerle f(x)=−x2+10x+11f(x) = -x^2 + 10x + 11 fonksiyonu ile modellemektedir. Ancak operasyonel gecikmeler nedeniyle firmanın fiili günlük kâr grafiği, bu teorik kâr grafiğinin 2 gün sağa ötelenmiş hali olan g(x)=f(x−2)g(x) = f(x - 2) fonksiyonu ile gerçekleşmektedir.

Buna göre, bu firmanın lansmandan sonraki [6,9][6, 9] kapalı zaman aralığında (gün olarak) elde edebileceği fiili günlük kârın en büyük değeri kaç bin TL'dir?

  1. A
    20
  2. B
    27
  3. C
    32
  4. D
    35
  5. 36Cevap

Cevap

Fiili günlük kârın en büyük değeri 36 bin TL'dir.
Fiili kâr fonksiyonu g(x) = f(x-2) olduğundan, f(x) parabolü 2 birim sağa ötelenmiştir. f(x)'in tepe noktasının apsisi 5 olduğundan, g(x)'in tepe noktasının apsisi 7 olur. Bu tepe noktası [6, 9] kapalı aralığında yer aldığı için g(x) fonksiyonu en büyük değerini x = 7 noktasında alır ve bu değer 36 bin TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Teorik kâr fonksiyonunun tepe noktasını bulma
f(x)=−x2+10x+11f(x) = -x^2 + 10x + 11 fonksiyonunda a=−1a = -1, b=10b = 10 ve c=11c = 11 dir. Tepe noktasının apsisi rf=−b2a=−102(−1)=5r_f = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5 olarak bulunur. En büyük değer ise f(5)=−52+10(5)+11=36f(5) = -5^2 + 10(5) + 11 = 36 olur.
Öteleme dönüşümünün tepe noktasını nereye taşıyacağını belirlemek için referans noktası gereklidir.
2
Fiili kâr fonksiyonunun tepe noktasını öteleme kuralları ile belirleme
g(x)=f(x−2)g(x) = f(x-2) fonksiyonu, f(x)f(x) grafiğinin 2 birim sağa ötelenmiş halidir. Yatay ötelemede tepe noktasının ordinatı değişmez, apsisi ise 2 birim artar. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi rg=5+2=7r_g = 5 + 2 = 7 olur. Bu tepe noktasındaki maksimum değer yine 36'dır.
Yatay eksende yapılan f(x−k)f(x-k) dönüşümü, grafiği k>0k > 0 için sağa doğru kk birim öteler.
3
Tepe noktasının tanımlı aralıkta olup olmadığını kontrol etme ve en büyük değeri hesaplama
Belirlenen [6,9][6, 9] aralığı incelendiğinde, g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasının apsisi olan 77 değerinin bu aralıkta olduğu görülür (7∈[6,9]7 \in [6, 9]). Kollar aşağı doğru olan bu parabol, bu aralıktaki en büyük değerini tepe noktasında alır. Dolayısıyla en büyük değer g(7)=f(5)=36g(7) = f(5) = 36 bin TL olarak bulunur.
Kollar aşağı doğru olan bir parabol, tepe noktasının apsisi incelenen kapalı aralığın içinde yer alıyorsa en büyük değerini tepe noktasında alır.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük veya en küçük değeri bulunurken tepe noktasının apsisinin (r) verilen aralığın içinde olup olmadığı kontrol edilir. Eğer tepe noktası aralığın içindeyse en büyük/en küçük değer tepe noktasında; aralığın dışındaysa aralığın uç noktalarında oluşur.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru