Bir (a_n) geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı S_n ile gösterilmektedir. Bu dizinin… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ geometrik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamının, sonraki üç teriminin toplamına oranı $\frac{1}{27}$ 'dir.

Dizinin ikinci terimi $a_2 = 6$ olduğuna göre, bu dizinin ilk 4 teriminin toplamı ( $S_4$ ) kaçtır?

İlk üç terimin toplamı

S_3

ile sonraki üç terimin toplamı olan

r^3 \cdot S_3

oranlandığında ortak çarpan

r = 3

olarak elde edilir. Buradan dizinin ilk terimi

a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{3} = 2

bulunur. Bulunan bu değerler geometrik dizinin ilk

n

terim toplamı formülünde (

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

) yerine yazıldığında ilk 4 terimin toplamı 80 olarak hesaplanır.

İlk üç terimin toplamı ile sonraki üç terimin toplamı arasındaki oranı yazarak ortak çarpanı (

r

) bulma.

İlk üç terimin toplamı

S_3 = a_1 + a_2 + a_3

şeklindedir. Sonraki üç terimin toplamı ise

a_4 + a_5 + a_6 = a_1 r^3 + a_2 r^3 + a_3 r^3 = r^3(a_1 + a_2 + a_3) = r^3 \cdot S_3

olur. Bu iki toplamın oranı

\frac{S_3}{r^3 \cdot S_3} = \frac{1}{r^3} = \frac{1}{27}

olarak verildiğinden

r^3 = 27

ve buradan ortak çarpan

r = 3

bulunur.

Geometrik dizinin terimlerinin artış oranını (ortak çarpanı) belirlemek için.

Dizinin verilen ikinci teriminden (

a_2 = 6

) yararlanarak ilk terimi (

a_1

) bulma.

Geometrik dizilerde genel terim ilişkisi gereği

a_2 = a_1 \cdot r

yazılır. Buradan

6 = a_1 \cdot 3 \Rightarrow a_1 = 2

bulunur.

Dizinin toplam formülünü uygulayabilmek için dizinin başlangıç terimini elde etmek gerekir.

İlk

n

terim toplamı formülünü uygulayarak ilk 4 terimin toplamını (

S_4

) hesaplama.

Geometrik dizinin ilk

n

teriminin toplamı

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

formülü ile hesaplanır.

n = 4

için

S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80

elde edilir.

Soruda bizden istenen ilk 4 terimin toplam değerini bulmak için.

Geometrik dizilerde terimlerin ortak çarpan parantezine alınması ve ilk n terim toplam formülü

Soru