Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ile Alan Hesabı

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 parabolü, x=0x = 0 ve x=4x = 4 doğruları ile xx-ekseni arasında kalan sınırlı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

  1. A
    73\frac{7}{3}
  2. B
    203\frac{20}{3}
  3. C
    99
  4. 343\frac{34}{3}Cevap
  5. E
    443\frac{44}{3}

Cevap

Sınırlı bölgelerin alanları toplamı 343\frac{34}{3} birimkaredir.
Toplam alan, fonksiyonun xx-ekseninin altında kalan kısmının alanı (99) ile üstünde kalan kısmının alanının (73\frac{7}{3}) toplanmasıyla 343\frac{34}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulmak için fonksiyon sıfıra eşitlenir.
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 denkleminden kökler x=−1x = -1 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Soruda verilen [0,4][0, 4] aralığ��nda parabolün xx-eksenini kestiği nokta x=3x = 3 noktasıdır.
Fonksiyonun bu aralıkta işaret değiştirdiği noktayı bulmak, integral sınırlarını doğru parçalara ayırmak için gereklidir.
2
[0,3][0, 3] aralığında xx-ekseninin altında kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≤0f(x) \le 0 olduğundan alan: A1=∫03−f(x) dx=∫03(−x2+2x+3) dx=[−x33+x2+3x]03=(−9+9+9)−0=9A_1 = \int_{0}^{3} -f(x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{3} = (-9 + 9 + 9) - 0 = 9 birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin altında kalan kısımlarında integral değeri negatif çıkacağından, alanın pozitif değerini elde etmek için integral eksi ile çarpılır.
3
[3,4][3, 4] aralığında xx-ekseninin üstünde kalan bölgenin alanı hesaplanır.
Bu aralıkta f(x)≥0f(x) \ge 0 olduğundan alan: A2=∫34f(x) dx=∫34(x2−2x−3) dx=[x33−x2−3x]34=(643−16−12)−(9−9−9)=(643−28)−(−9)=−203+9=73A_2 = \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{3}^{4} (x^2 - 2x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x \right]_{3}^{4} = \left( \frac{64}{3} - 16 - 12 \right) - (9 - 9 - 9) = \left( \frac{64}{3} - 28 \right) - (-9) = -\frac{20}{3} + 9 = \frac{7}{3} birimkaredir.
Eğrinin xx-ekseninin üstünde kalan kısımlarında integral değeri doğrudan alanı verir.
4
Elde edilen alan değerleri toplanarak toplam alan bulunur.
Toplam Alan =A1+A2=9+73=343= A_1 + A_2 = 9 + \frac{7}{3} = \frac{34}{3} birimkare bulunur.
Toplam sınırlı bölgenin alanını bulmak için her iki bölgenin alanları toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Belirli integral ile alan hesabında, fonksiyonun xx-ekseninin altında kaldığı aralıklarda integral değerinin negatif olduğu dikkate alınarak alanın pozitif çıkması için integralin önüne eksi işareti konur veya mutlak değeri alınır.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, parabolün grafiği çizilip tepe noktası (1,−4)(1, -4) ve kesim noktaları belirlenerek alanların koordinat düzlemindeki dağılımı görsel olarak incelenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ile Alan Hesabı

Bu konudan daha fazla soru