Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Her xx gerçel sayısı için türevlenebilir olan ff fonksiyonu
f(x)=x3+3x2+(m−2)x+1f(x) = x^3 + 3x^2 + (m-2)x + 1
biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonu daima artan olduğuna göre, mm gerçel sayısının değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (−∞,5](-\infty, 5]
  2. B
    (5,∞)(5, \infty)
  3. [5,∞)[5, \infty)Cevap
  4. D
    (−∞,5)(-\infty, 5)
  5. E
    [14,∞)[14, \infty)

Cevap

m gerçel sayısının değer aralığı 5 kapalı, sonsuz açık aralığıdır.
Verilen fonksiyonun daima artan olması için türevi olan ikinci dereceden ifadenin her yerde sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan bu ifadenin her yerde negatif olmayan değerler alması için diskriminantı sıfırdan küçük veya eşit olmalıdır. Yapılan hesaplamalar sonucunda diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olmasını sağlayan aralığın 5 kapalı, sonsuz açık aralığı olduğu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun türevinin alınması
f′(x)=3x2+6x+m−2f'(x) = 3x^2 + 6x + m - 2
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için birinci türevi incelenir. Fonksiyonun her xx gerçel sayısı için daima artan olması, birinci türevinin daima sıfırdan büyük veya eşit olması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) anlamına gelir.
2
Türev fonksiyonunun daima sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunun diskriminant (delta) yardımıyla analiz edilmesi
Δ≤0\Delta \leq 0 olmalıdır.
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ikinci dereceden bir ifadedir. Başkatsayısı pozitif (3>03 > 0) olduğundan, bu ifadenin her xx gerçel sayısı için negatif olmaması (f′(x)≥0f'(x) \geq 0) ancak ve ancak diskriminantının sıfırdan küçük veya eşit olması ile mümkündür. Δ=0\Delta = 0 durumunda oluşan çift katlı kök, türevin işaretini değiştirmediği için fonksiyonun artanlığını bozmaz.
3
Diskriminant eşitsizliğinin çözülerek m parametresinin aralığının bulunması
m≥5m \geq 5 yani [5,∞)[5, \infty)
f′(x)=3x2+6x+(m−2)f'(x) = 3x^2 + 6x + (m-2) ifadesinde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac formülü uygulanır:
Δ=62−4⋅3⋅(m−2)≤0\Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m-2) \leq 0
36−12(m−2)≤036 - 12(m-2) \leq 0
Her iki taraf 12 ile sadeleştirilirse:
3−(m−2)≤0  ⟹  3−m+2≤0  ⟹  5≤m3 - (m-2) \leq 0 \implies 3 - m + 2 \leq 0 \implies 5 \leq m elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her noktada sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. İkinci dereceden türev fonksiyonlarında bu durum diskriminantın sıfırdan küçük veya eşit olması koşuluna bağlıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru