Examkin

Soru

Zorluk: ZorBileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları tanımlanmıştır. y=g(x)y = g(x) fonksiyonunun grafiğine x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi y=2x+7y = 2x + 7 olarak verilmektedir.

f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x)
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x))

olduğuna göre, h′(2)h'(2) değeri kaçtır?

  1. A
    -8
  2. -4Cevap
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    4

Cevap

-4
Doğru cevap olan −4-4 değeri, y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna çizilen teğet doğrusunun eğiminden g′(−2)=2g'(-2) = 2 ve temas noktasından g(−2)=3g(-2) = 3 değerleri elde edildikten sonra, f(x)f(x) ve h(x)h(x) fonksiyonlarının türevlerinin zincir kuralına uygun şekilde alınması ve elde edilen değerlerin yerine konulmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Teğet doğrusunun denkleminden g(−2)g(-2) ve g′(−2)g'(-2) değerlerini elde etme.
g(−2)=3g(-2) = 3 ve g′(−2)=2g'(-2) = 2
y=g(x)y = g(x) fonksiyonuna x=−2x = -2 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu y=2x+7y = 2x + 7 olduğundan, bu noktanın ordinatı doğrunun denklemini sağlar: g(−2)=2(−2)+7=3g(-2) = 2(-2) + 7 = 3. Teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşit olduğundan g′(−2)=2g'(-2) = 2 bulunur.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak f(2)f(2), f′(2)f'(2) ve f′(1)f'(1) değerlerini hesaplama.
f(2)=3f(2) = 3, f′(2)=2f'(2) = 2 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
f(x)=g(x2−3x)f(x) = g(x^2 - 3x) için x=2x = 2 yazıldığında f(2)=g(22−3(2))=g(−2)=3f(2) = g(2^2 - 3(2)) = g(-2) = 3 olur. Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre f′(x)=g′(x2−3x)⋅(2x−3)f'(x) = g'(x^2 - 3x) \cdot (2x - 3) elde edilir. x=2x = 2 için f′(2)=g′(−2)⋅(2(2)−3)=2⋅1=2f'(2) = g'(-2) \cdot (2(2) - 3) = 2 \cdot 1 = 2 ve x=1x = 1 için f′(1)=g′(−2)⋅(2(1)−3)=2⋅(−1)=−2f'(1) = g'(-2) \cdot (2(1) - 3) = 2 \cdot (-1) = -2 hesaplanır.
3
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) fonksiyonunun türevini alıp x=2x = 2 değerini yerine yazma.
h′(2)=−4h'(2) = -4
h(x)=f(x2−f(x))h(x) = f(x^2 - f(x)) ifadesinde zincir kuralı uygulanırsa, türev h′(x)=f′(x2−f(x))⋅(2x−f′(x))h'(x) = f'(x^2 - f(x)) \cdot (2x - f'(x)) olarak bulunur. x=2x = 2 yazıldığında h′(2)=f′(4−f(2))⋅(4−f′(2))h'(2) = f'(4 - f(2)) \cdot (4 - f'(2)) elde edilir. Önceki adımlarda bulunan değerler yerine yazıldığında h′(2)=f′(4−3)⋅(4−2)=f′(1)⋅2=−2⋅2=−4h'(2) = f'(4 - 3) \cdot (4 - 2) = f'(1) \cdot 2 = -2 \cdot 2 = -4 sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Alternatif Yöntem

Zincir kuralını daha net görmek için değişken değiştirmesi yapılabilir. Örneğin, u=x2−f(x)u = x^2 - f(x) denilirse h(x)=f(u)h(x) = f(u) olur. Buradan türev alındığında h′(x)=dfdu⋅dudx=f′(u)⋅(2x−f′(x))h'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot (2x - f'(x)) elde edilir. Benzer şekilde f(x)=g(t)f(x) = g(t) ve t=x2−3xt = x^2 - 3x tanımlamaları ile türev adımları daha izole ve hatasız bir şekilde sürdürülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyonun Türevi ve Zincir Kuralı

Bu konudan daha fazla soru