Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir (a_n) aritmetik dizisi veriliyor… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Ortak farkı sıfırdan farklı ve ilk terimine eşit olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisi veriliyor.

x^2 - (a_4 + 9)x + a_2 \cdot a_5 = 0

ikinci dereceden denkleminin kökleri bu dizinin $a_2$ ve $a_5$ terimleridir.

Buna göre, bu dizinin sekizinci terimi ( $a_8$ ) kaçtır?

Cevap: 24

Sekizinci terim (

a_8

) 24'tür.

İkinci dereceden denklemin kökler toplamı kuralından köklerin toplamı olan

a_2 + a_5

ifadesi,

a_4 + 9

'a eşit olur. Dizinin ilk terimi ortak farkına eşit olduğundan (

a_1 = r

), terimler

a_2 = 2r

a_4 = 4r

a_5 = 5r

şeklinde yazılır. Buradan

2r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3

elde edilir. İlk terim

a_1 = 3

olup, sekizinci terim

a_8 = a_1 + 7r = 3 + 21 = 24

bulunur.

Dizinin genel terimlerini ortak fark

r

cinsinden ifade edin.

a_1 = r

a_2 = 2r

a_4 = 4r

a_5 = 5r

İlk terimin ortak farka eşit olduğu (

a_1 = r

) belirtilmiştir.

İkinci dereceden denklemin kökler toplamı bağıntısını yazın.

a_2 + a_5 = a_4 + 9

x^2 - Bx + C = 0

biçimindeki bir denklemde kökler toplamı

B

katsayısına eşittir.

Elde edilen denklemde terimlerin

r

cinsinden değerlerini yerine yazarak ortak farkı hesaplayın.

2r + 5r = 4r + 9 \implies 3r = 9 \implies r = 3

Ortak farkı bulmak, dizinin tüm terimlerini belirlememizi sağlar.

Bulunan değerler yardımıyla dizinin sekizinci terimini hesaplayın.

a_8 = a_1 + 7r = 3 + 7 \cdot 3 = 24

Bir aritmetik dizide genel terim formülü

a_n = a_1 + (n-1)r

şeklindedir.

Aritmetik dizinin temel terim özellikleri ve ikinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (Vieta) ilişkisinin birlikte kullanımı.

Soru