Examkin

Soru

Zorluk: KolayYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
  1. A
    -4
  2. 0Cevap
  3. C
    2
  4. D
    4
  5. E
    8

Cevap

Fonksiyonun yerel minimum değeri 0'dır.
Fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlendiğinde elde edilen kritik noktalardan x=2x = 2 noktasında türev işaret değiştirerek negatiften pozitife geçmektedir. Bu yüzden x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır ve bu noktadaki fonksiyon değeri f(2)=0f(2) = 0 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevi alınır.
f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x
Ekstremum noktalarının apsislerini (kritik noktaları) bulmak için fonksiyonun türevi alınmalıdır.
2
Türevin kökleri (kritik noktalar) bulunur.
3x2−6x=0  ⟹  3x(x−2)=0  ⟹  x1=03x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=2x_2 = 2
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum adaylarıdır.
3
Türevin işaret tablosu yapılarak yerel minimum noktası belirlenir.
x<0x < 0 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan), 0<x<20 < x < 2 için f′(x)<0f'(x) < 0 (azalan), x>2x > 2 için f′(x)>0f'(x) > 0 (artan). Bu durumda x=2x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır.
Türevin işareti negatiften pozitife döndüğü nokta yerel minimum noktasıdır.
4
Yerel minimum noktasının ordinatı (yerel minimum değeri) hesaplanır.
f(2)=23−3(2)2+4=8−12+4=0f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0
Yerel minimum değeri, bu noktanın fonksiyondaki görüntüsüdür.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevinin kökleri bulunur ve işaret tablosu yardımıyla ekstremum noktalarının türü belirlenir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru