Öngörülen evrenin öğrenciler evreni (E) olduğu ve Ç(x): "x çalışkandır.", B(x): "x başarıl… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Öngörülen evrenin öğrenciler evreni ( $E$ ) olduğu ve $Ç(x)$ : " $x$ çalışkandır.", $B(x)$ : " $x$ başarılıdır." yüklemlerinin tanımlandığı bir sistemde; "Çalışkan olan hiçbir öğrencinin başarısız olduğu söylenemez." önermesinin yüklemler mantığındaki doğru sembolik karşılığı $\neg \exists x (Ç(x) \rightarrow \neg B(x))$ ifadesidir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önermenin sembolik g��sterimi yanlıştır. Doğru gösterim

\neg \exists x (Ç(x) \wedge \neg B(x))

veya buna eşdeğer olan

\forall x (Ç(x) \rightarrow B(x))

olmalıdır.

Önermenin doğru sembolleştirilmesi

\neg \exists x (Ç(x) \wedge \neg B(x))

veya

\forall x (Ç(x) \rightarrow B(x))

olmalıdır. Önerilen

\neg \exists x (Ç(x) \rightarrow \neg B(x))

ifadesi mantıksal olarak 'Her öğrenci çalışkandır ve başarılıdır' anlamına gelen farklı bir önermeye eşdeğer olduğundan yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

Doğal dildeki önermenin mantıksal yapısını çözümleme.

"Çalışkan olan hiçbir öğrencinin başarısız olduğu söylenemez" ifadesi, "Öğrenciler evreninde hem çalışkan olup hem de başarısız olan (başarılı olmayan) hiçbir öğrenci yoktur" anlamına gelir.

Niceleyici ve yüklemler arasındaki mantıksal ilişkileri doğru kurabilmek için cümlenin gerçek anlamını belirlemek gerekir.

Çözümlenen yapıyı yüklemler ve niceleyiciler ile ifade etme.

"Çalışkan (

Ç(x)

) ve başarısız (

\neg B(x)

) olan bir öğrencinin varlığı" ifadesi

\exists x (Ç(x) \wedge \neg B(x))

şeklinde yazılır. Bunun değillenmesi ise

\neg \exists x (Ç(x) \wedge \neg B(x))

ifadesini verir.

Tikel niceleyici altında varlık iddiası tümel evetleme (

\wedge

) ile kurulur ve değilleme eklemi tüm ifadenin başına getirilir.

Önerilen sembolleştirmenin mantıksal eşdeğerini bulma.

\neg \exists x (Ç(x) \rightarrow \neg B(x))

ifadesi sırasıyla değillemenin içeri dağıtılmasıyla

\forall x \neg (Ç(x) \rightarrow \neg B(x))

şeklini alır. Koşul ekleminin açılımı uygulandığında

\forall x \neg (\neg Ç(x) \vee \neg B(x))

olur. De Morgan kuralları ile bu ifade

\forall x (Ç(x) \wedge B(x))

önermesine dönüşür.

Önerilen sembolleştirmenin orijinal önerme ile aynı anlamı taşıyıp taşımadığını mantıksal kurallarla denetlemek gerekir.

Eşdeğer ifadelerin anlamlarını karşılaştırma.

"Çalışkan olan hiçbir öğrencinin başarısız olmadığı" iddiası, "Her öğrencinin hem çalışkan hem başarılı olduğu" iddiası ile aynı değildir. Dolayısıyla önerilen sembolleştirme yanlıştır.

Çıkan sonucun orijinal iddiadan tamamen farklı olduğunu doğrulayarak önermenin doğruluk değerinin 'Yanlış' olduğuna karar verilir.

Anahtar Kavram

Yüklemler Mantığında Niceleyici Eşdeğerlikleri ve Sembolleştirme Kuralları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru