Examkin

Soru

Zorluk: ZorYüklemler Mantığında Sembolleştirme ve Niceleyiciler

Sanat eserleri evreninde (EE) tanımlanan;

R(x)R(x): "xx bir resimdir."
O(x)O(x): "xx özgündür."
D(x)D(x): "xx değerlidir."

yüklemleri verilmiştir.

Buna göre, "Her resim özgünse değerlidir; ancak bazı resimler ne özgündür ne de değerlidir." önermesinin yüklemler mantığındaki doğru sembolik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (∀x(R(x)→(O(x)→D(x)))∨∃x(R(x)∧¬O(x)∧¬D(x)))(\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \rightarrow D(x))) \vee \exists x (R(x) \wedge \neg O(x) \wedge \neg D(x)))
  2. B
    (∀x(R(x)∧(O(x)→D(x)))∧∃x(R(x)→(¬O(x)∧¬D(x))))(\forall x (R(x) \wedge (O(x) \rightarrow D(x))) \wedge \exists x (R(x) \rightarrow (\neg O(x) \wedge \neg D(x))))
  3. (∀x(R(x)→(O(x)→D(x)))∧∃x(R(x)∧¬O(x)∧¬D(x)))(\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \rightarrow D(x))) \wedge \exists x (R(x) \wedge \neg O(x) \wedge \neg D(x)))Cevap
  4. D
    (∀x(R(x)→(O(x)∧D(x)))∧∃x(R(x)∧¬(O(x)∧D(x))))(\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \wedge D(x))) \wedge \exists x (R(x) \wedge \neg (O(x) \wedge D(x))))
  5. E
    (∀x((R(x)∧O(x))→D(x))∧∃x(R(x)∧(¬O(x)→¬D(x))))(\forall x ((R(x) \wedge O(x)) \rightarrow D(x)) \wedge \exists x (R(x) \wedge (\neg O(x) \rightarrow \neg D(x))))

Cevap

Her resim özgünse değerlidir; ancak bazı resimler ne özgündür ne de değerlidir önermesinin yüklemler mantığındaki doğru sembolik ifadesi, birinci kısmı tümel niceleyici altında koşul eklemiyle, ikinci kısmı tikel niceleyici altında tümel evetleme ve değilleme eklemleriyle gösteren ve bu iki kısmı tümel evetleme eklemiyle bağlayan seçenektir.
Doğru olan seçenekte, ilk bileşendeki tümel önerme 'Her resim (R(x)R(x)) için eğer resim özgünse (O(x)O(x)) değerlidir (D(x)D(x))' koşul yapısıyla doğru bir biçimde ∀x(R(x)→(O(x)→D(x)))\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \rightarrow D(x))) olarak sembolleştirilmiştir. İkinci bileşendeki tikel önerme ise 'Bazı xx'ler vardır ki hem resimdir (R(x)R(x)), hem özgün değildir (¬O(x)\neg O(x)) hem de değerli değildir (¬D(x)\neg D(x))' anlamını karşılayacak şekilde ∃x(R(x)∧¬O(x)∧¬D(x))\exists x (R(x) \wedge \neg O(x) \wedge \neg D(x)) olarak ifade edilmiştir. Bu iki bileşenin 'ancak' bağlacının karşılığı olan tümel evetleme eklemiyle (∧\wedge) birleştirilmesiyle doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Önermeyi 'ancak' bağlacına göre iki ana bileşene ayırmak.
Birinci bileşen: 'Her resim özgünse değerlidir.' İkinci bileşen: 'Bazı resimler ne özgündür ne de değerlidir.' İki bileşen arasındaki ana eklem: 'ancak' (ve / ∧\wedge).
Bileşik önermelerin doğru sembolleştirilmesi için öncelikle ana eklemin ve ana bileşenlerin tespit edilmesi gerekir.
2
Birinci bileşen olan 'Her resim özgünse değerlidir' ifadesini yüklemler mantığına aktarmak.
∀x(R(x)→(O(x)→D(x)))\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \rightarrow D(x)))
Tümel niceleyici (∀\forall) içeren ifadelerde evrendeki elemanların sınırlandırılması (resim olma koşulu) 'ise' (→\rightarrow) eklemiyle yapılır. 'Her resim (R(x)R(x)) için eğer resim özgünse (O(x)O(x)) değerlidir (D(x)D(x))' yapısı bu şekilde kurulur.
3
İkinci bileşen olan 'bazı resimler ne özgündür ne de değerlidir' ifadesini sembolleştirmek.
∃x(R(x)∧¬O(x)∧¬D(x))\exists x (R(x) \wedge \neg O(x) \wedge \neg D(x))
Tikel niceleyici (∃\exists) kullanılan varlıksal ifadelerde nitelikler 've' (∧\wedge) eklemiyle bağlanır. 'Ne özgündür ne de değerlidir' ifadesi 'özgün değildir ve değerli değildir' anlamına geldiğinden yüklemler değillenerek (¬O(x)∧¬D(x)\neg O(x) \wedge \neg D(x)) tikel niceleyici altında gösterilir.
4
Elde edilen iki sembolik ifadeyi ana eklem olan tümel evetleme (∧\wedge) ile birleştirmek.
(∀x(R(x)→(O(x)→D(x)))∧∃x(R(x)∧¬O(x)∧¬D(x)))(\forall x (R(x) \rightarrow (O(x) \rightarrow D(x))) \wedge \exists x (R(x) \wedge \neg O(x) \wedge \neg D(x)))
Türkçedeki 'ancak' bağlacı, iki önermenin aynı anda gerçekleştiğini bildirdiği için mantıksal olarak tümel evetleme eklemi ile temsil edilir.

Anahtar Kavram

Yüklemler mantığında tümel ve tikel niceleyicilerle kurulan bileşik önermelerin uygun mantıksal eklemler (koşul ve tümel evetleme eklemleri) kullanılarak doğru sembolleştirilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Yüklemler Mantığında Sembolleştirme ve Niceleyiciler

Bu konudan daha fazla soru