Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYüklemler Mantığında Sembolleştirme ve Niceleyiciler

Yüklemler mantığında niceleyiciler ve sembolleştirme kuralları çerçevesinde; E={a,b}E = \{a, b\} evreninde tanımlı G(x)G(x): "xx gariptir." ve D(x)D(x): "xx dahidir." yüklemleri verilmiştir. Buna göre, "Hiçbir garip dahi değildir." önermesinin sembolik karşılığı olan ∼∃x(G(x)∧D(x))\sim \exists x (G(x) \land D(x)) ifadesi ile "Her dahi garip olmayan biridir." önermesinin sembolik karşılığı olan ∀x(D(x)→∼G(x))\forall x (D(x) \rightarrow \sim G(x)) ifadesinin birbirine mantıksal olarak denk olduğu ve bu denkliğin EE evrenindeki açılımının [(∼G(a)∨∼D(a))∧(∼G(b)∨∼D(b))][(\sim G(a) \lor \sim D(a)) \land (\sim G(b) \lor \sim D(b))] şeklinde yapılması gerektiği yönündeki iddia doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

İleri sürülen iddia tamamen doğrudur.
Verilen iddiadaki her iki önerme de mantıksal çözümlemeler yapıldığında aynı sembolik açılıma ulaşır. 'Hiçbir garip dahi değildir' ifadesi ile 'Her dahi garip olmayan biridir' ifadesi eşdeğerdir ve E={a,b}E = \{a, b\} evrenindeki açılımları tam olarak iddia edilen biçimdedir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk önermenin sembolleştirilmesi ve eşdeğerinin bulunması
"Hiçbir garip dahi değildir." önermesi ∼∃x(G(x)∧D(x))\sim \exists x (G(x) \land D(x)) biçiminde sembolleştirilir. Niceleyici değilleme kuralı uygulanarak bu ifade ∀x∼(G(x)∧D(x))\forall x \sim (G(x) \land D(x)) şekline getirilir.
Tikel niceleyicinin değillemesi, niceleyicinin tümele dönüştürülüp içteki ifadenin değillenmesi esasına dayanır.
2
De Morgan kuralının uygulanması
∀x∼(G(x)∧D(x))\forall x \sim (G(x) \land D(x)) ifadesinde içteki değilleme dağıtıldığında ∀x(∼G(x)∨∼D(x))\forall x (\sim G(x) \lor \sim D(x)) ifadesi elde edilir.
Tümel evetleme ekleminin değili, bileşenlerin değillerinin tikel evetlemesidir.
3
İkinci önermenin sembolleştirilmesi ve eşdeğerinin bulunması
"Her dahi garip olmayan biridir." önermesi ∀x(D(x)→∼G(x))\forall x (D(x) \rightarrow \sim G(x)) olarak sembolleştirilir. Koşul ekleminin eşdeğerlik kuralı (p→q≡∼p∨qp \rightarrow q \equiv \sim p \lor q) uygulanarak bu ifade ∀x(∼D(x)∨∼G(x))\forall x (\sim D(x) \lor \sim G(x)) haline getirilir.
Her iki sembolik ifadenin iç mantıksal yapılarının birbirine denk olup olmadığını görmek için aynı eklemlere indirgenmesi gerekir.
4
İfadelerin karşılaştırılması ve evren açılımının yapılması
∼G(x)∨∼D(x)\sim G(x) \lor \sim D(x) ile ∼D(x)∨∼G(x)\sim D(x) \lor \sim G(x) ifadeleri değişme özelliği gereği denktir. Dolayısıyla ∀x(∼G(x)∨∼D(x))\forall x (\sim G(x) \lor \sim D(x)) ifadesinin E={a,b}E = \{a, b\} evrenindeki açılımı [(∼G(a)∨∼D(a))∧(∼G(b)∨∼D(b))][(\sim G(a) \lor \sim D(a)) \land (\sim G(b) \lor \sim D(b))] olarak bulunur.
Tümel niceleyicili önermelerin sonlu bir evrendeki açılımı, evrendeki her bir eleman için yazılan özelleme önermelerinin tümel evetleme bağı ile bağlanmasıyla gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Yüklemler mantığında niceleyicilerin değillenmesi, koşul ekleminin tikel evetlemeye dönüştürülmesi ve tümel niceleyicili önermelerin sonlu evrendeki açılımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Yüklemler Mantığında Sembolleştirme ve Niceleyiciler

Bu konudan daha fazla soru