Bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_4 + a_{12} = 28 a_1 + a_5 + a_9 = 24 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Bir (a_n) aritmetik dizisinin terimleri arasında a_4 + a_{12} = 28 a_1 + a_5 + a_9 = 24 \n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin terimleri arasında

a_4 + a_{12} = 28

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevap: 2

Dizinin ortak farkı 2'dir.

Dizinin ortak farkının 2 olmasının nedeni;

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinden

a_1 + a_9 = 2a_5

simetri kuralı kullanılarak

a_5 = 8

değerine ulaşılması ve bu değerin

a_4 + a_{12} = 2a_5 + 6r = 28

denklemine yazılmasıyla

6r = 12 \implies r = 2

sonucunun elde edilmesidir.

a_1 + a_5 + a_9 = 24

eşitliğinde aritmetik ortalama özelliğini kullanarak

a_5

teriminin değerini belirlemek

a_1 + a_9 = 2a_5 \implies 3a_5 = 24 \implies a_5 = 8

Bir aritmetik dizide belirli bir terime eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı, ortadaki terimin iki katına eşittir.

a_4 + a_{12} = 28

eşitliğindeki terimleri

a_5

ve ortak fark olan

r

cinsinden ifade etmek

a_4 = a_5 - r

a_{12} = a_5 + 7r \implies (a_5 - r) + (a_5 + 7r) = 2a_5 + 6r = 28

Tüm bilinmeyen terimleri tek bir terim (

a_5

) ve ortak fark (

r

) cinsinden yazarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.

a_5 = 8

değerini denklemde yerine yazarak

r

ortak farkını bulmak

2(8) + 6r = 28 \implies 16 + 6r = 28 \implies 6r = 12 \implies r = 2

Bilinmeyen

a_5

değerini yerleştirip birinci dereceden tek bilinmeyenli denklemi çözmek.

Aritmetik dizilerde indis özellikleri, terimler arası aritmetik ortalama ilişkisi ve genel terim yazımı