\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned} denklem sistemini sağlaya… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\begin{aligned} x^2 - xy - y^2 &= 5 \\ x - 2y &= 1 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan $(x, y)$ gerçek sayı ikilileri için $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: 28

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için

x \cdot y

çarpımının alabileceği en büyük değer 28'dir.

Denklem sistemindeki birinci dereceden denklem kullanılarak

x = 2y + 1

elde edilir. Bu değer ikinci dereceden denklemde yerine yazıldığında

y^2 + 3y - 4 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanlara ayrılmış hali

(y + 4)(y - 1) = 0

olup kökleri

y = 1

y = -4

'tür. Karşılık gelen

x

değerleri sırasıyla

3

-7

olur. Çözüm ikililerinin çarpımları

3 \cdot 1 = 3

(-7) \cdot (-4) = 28

olarak bulunur. Bu değerlerin en büyüğü 28'dir.

Birinci dereceden denklemden değişken çekme

x = 2y + 1

Yerine koyma metodunu uygulamak amacıyla linear denklemden

x

yalnız bırakılır.

x

ifadesini ikinci dereceden denklemde yerine koyma

(2y + 1)^2 - (2y + 1)y - y^2 = 5

İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyenli bir denklem haline getirmek için.

Denklemi açma ve standart forma getirme

y^2 + 3y - 4 = 0

Çarpanlarına ayırarak kökleri bulabilmek için denklemi sadeleştirip düzenlemek gerekir.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulma

y = 1

veya

y = -4

(y + 4)(y - 1) = 0

çarpanlarına ayrılan denklemin köklerini bulmak için.

Bulunan

y

değerlerine karşılık gelen

x

değerlerini hesaplama

(3, 1)

(-7, -4)

çözüm ikilileri

Her bir

y

değeri

x = 2y + 1

eşitliğinde yazılarak çözüm kümesindeki ikililer oluşturulur.

Çarpımları hesaplayıp en büyüğünü belirleme

3 \cdot 1 = 3

(-7) \cdot (-4) = 28

değerlerinden en büyüğü 28'dir.

Soruda istenen en büyük çarpım değerine ulaşmak için.

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.

Soru