Examkin

Soru

Zorluk: ZorRiemann Toplamı
f:[1,3]→Rf: [1, 3] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=3xf(x) = 3^x
fonksiyonu tanımlanıyor. [1,3][1, 3] kapalı aralığı nn adet eş alt aralığa bölünerek bu fonksiyonun Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı hesaplanıyor.
Hesaplanan Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki fark 33 olduğuna göre, alt aralık sayısı olan nn değeri kaçtır?

Cevap: 16

Cevap

Riemann üst toplamı ile Riemann alt toplamı arasındaki farkın 3 olması için alt aralık sayısı (nn) 16 olmalıdır.
Tanımlanan f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonu artan olduğundan, her bir alt aralıktaki maksimum ve minimum değerler sırasıyla sağ ve sol uç noktalarda alınır. Riemann üst ve alt toplamları farkı, aralık uç değerlerinin farkı ile alt aralık genişliğinin çarpımına eşittir: (2/n)∗(27−3)=48/n(2/n) * (27 - 3) = 48/n. Bu farkın 3 olması için n = 16 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun artanlık durumunu belirleme
f(x)=3xf(x) = 3^x fonksiyonunun türevi f′(x)=3xln⁡3>0f'(x) = 3^x \ln 3 > 0 olduğundan fonksiyon [1,3][1, 3] aralüğında sürekli ve kesinlikle artandır.
Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamının sol uç noktalarla, üst toplamının ise sağ uç noktalarla oluşturulacağını saptamak için.
2
Üst ve alt toplam farkını formüle etme
Genel olarak, [a,b][a, b] aralığında tanımlı artan bir ff fonksiyonunun nn eş parçaya bölünmesiyle oluşan Riemann üst toplamı (U¨nÜ_n) ve alt toplamı (AnA_n) arasındaki fark: U¨n−An=b−an(f(b)−f(a))Ü_n - A_n = \frac{b-a}{n} (f(b) - f(a)) şeklinde ifade edilir. Burada a=1a = 1, b=3b = 3 ve Δx=2n\Delta x = \frac{2}{n}'dir. f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=27f(3) = 27 değerleri yerine yazıldığında: U¨n−An=2n(27−3)=48nÜ_n - A_n = \frac{2}{n} (27 - 3) = \frac{48}{n} elde edilir.
Teleskobik toplam sadeleştirmesiyle fark ifadesini nn cinsinden yazmak için.
3
Bölüntü sayısı olan n değerini hesaplama
Verilen fark değeri 3 olduğundan: 48n=3  ⟹  3n=48  ⟹  n=16\frac{48}{n} = 3 \implies 3n = 48 \implies n = 16 bulunur.
Riemann toplamları arasındaki farkın 3'e eşit olması koşulunu sağlayan alt aralık sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Artan bir fonksiyonun Riemann üst ve alt toplamları arasındaki farkın hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Riemann Toplamı

Bu konudan daha fazla soru