Examkin

Soru

Zorluk: KolayYerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar
f(x)=13x3−4x2+16x−5f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x - 5 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının sayısı kaçtır?
  1. 0Cevap
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. D
    3
  5. E
    4

Cevap

Fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının sayısı 0'dır.
Verilen fonksiyonun türevi alındığında f′(x)=(x−4)2f'(x) = (x-4)^2 elde edilir. Bu ifadenin kökü olan x=4x = 4 bir çift katlı köktür. Çift katlı köklerin sağında ve solunda türevin işareti değişmeyip pozitif kalmaya devam ettiği için fonksiyon bu noktada artışını sürdürür. Dolayısıyla, fonksiyonun yerel ekstremum noktası yoktur ve sayısı sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun birinci türevini alalım.
f′(x)=x2−8x+16f'(x) = x^2 - 8x + 16
Yerel ekstremum noktalarını belirlemek için öncelikle fonksiyonun türevinin işaret incelemesini yapmalıyız.
2
Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
x2−8x+16=0  ⟹  (x−4)2=0  ⟹  x=4x^2 - 8x + 16 = 0 \implies (x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök)
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktası olmaya aday kritik noktalardır.
3
Türevin işaret tablosunu inceleyelim.
x=4x = 4 noktasının solunda ve sağında f′(x)>0f'(x) > 0 olduğundan türev işaret değiştirmez. Fonksiyon daima artandır.
Bir kritik noktanın yerel ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde işaret değişmediğinden x=4x = 4 noktası bir ekstremum noktası değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun türevinin sıfır oldu��u bir noktada yerel ekstremum olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir. Çift katlı köklerde türevin işareti değişmediği için yerel ekstremum noktası oluşmaz.
Bu soruyu puanla

Konular

Yerel ve Mutlak Ekstremum Noktalar

Bu konudan daha fazla soru