Examkin

Soru

Zorluk: ZorArtan ve Azalan Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff fonksiyonu
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x
olarak veriliyor.

Buna göre, g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıkların birleşimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]Cevap
  2. B
    [1−52,12]∪[1+52,∞)\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
  3. C
    [1−52,1+52]\left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
  4. D
    (−∞,1−52]∪[1+52,∞)\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty\right)
  5. E
    (−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)

Cevap

(−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Zincir kuralı uygulanarak elde edilen g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) türev fonksiyonunun gerçel kökleri 1−52\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 12\frac{1}{2} ve 1+52\frac{1+\sqrt{5}}{2} olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde, türevin negatif olduğu en geniş aralıklar (−∞,1−52](-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}] ve [12,1+52][\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}] birleşimidir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak g(x)=f(x2−x)g(x) = f(x^2 - x) fonksiyonunun türevini zincir kuralı kullanarak alalım.
g′(x)=f′(x2−x)⋅(2x−1)g'(x) = f'(x^2 - x) \cdot (2x - 1)
Bileşke fonksiyonun türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevinin içine içteki fonksiyon yazılır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılır.
2
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x fonksiyonunun türevi olan f′(x)f'(x) ifadesini bulalım ve g′(x)g'(x) türev fonksiyonunda yerine yazalım.
f′(x)=3x2−3⇒f′(x2−x)=3(x2−x)2−3f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow f'(x^2 - x) = 3(x^2 - x)^2 - 3
Buradan g′(x)=3[(x2−x)2−1]⋅(2x−1)g'(x) = 3[(x^2 - x)^2 - 1] \cdot (2x - 1) elde edilir.
g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaretini incelemek için çarpanlarına ayrılmış halini bulmamız gerekir.
3
g′(x)g'(x) ifadesini çarpanlarına ayırarak tüm köklerini bulalım.
g′(x)=3(x2−x−1)(x2−x+1)(2x−1)=0g'(x) = 3(x^2 - x - 1)(x^2 - x + 1)(2x - 1) = 0
x2−x+1=0x^2 - x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=−3<0\Delta = -3 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur ve daima pozitiftir.
Diğer çarpanların kökleri:
2x−1=0⇒x=122x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
x2−x−1=0⇒x=1±52x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
Türev fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturabilmek için tüm gerçel kökleri bulmalıyız.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak g′(x)g'(x) fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım.
Sıralama: 1−52<12<1+52\frac{1-\sqrt{5}}{2} < \frac{1}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} şeklindedir.
En büyük dereceli terimin katsayısı pozitif olduğundan tabloya en sağdan ++ ile başlanır. Tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir:
(−∞,1−52)(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1−52,12)(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1}{2}) aralığında ++
(12,1+52)(\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}) aralığında −-
(1+52,∞)(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \infty) aralığında ++
Buna göre azalan aralıklar türevin negatif veya sıfır olduğu yerlerdir: (−∞,1−52]∪[12,1+52]\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]
Türevin negatif veya sıfır olduğu kapalı aralıklarda sürekli ve türevlenebilir fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonun türevi yardımıyla artan ve azalan aralıkların belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru