Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(x^3 - g(2x)) = 3x^2 - 4x + 1\neşitliği sağlanmaktadır. g(2) = 3 f'(-2) = 2 olduğuna göre, g'(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(x^3 - g(2x)) = 3… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir

f

g

fonksiyonları için

f(x^3 - g(2x)) = 3x^2 - 4x + 1

eşitliği sağlanmaktadır.

g(2) = 3

f'(-2) = 2

olduğuna göre,

g'(2)

değeri kaçtır?

Doğru cevap 1 değeridir.

Verilen fonksiyon eşitliğinde her iki tarafın türevi zincir kuralına uygun şekilde alındığında

f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4

denklemi elde edilir. Burada

x = 1

yazılıp bilinen değerler yerine konulduğunda

g'(2) = 1

olarak hesaplanır.

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır. Sol tarafta bileşke fonksiyonun türevi için zincir kuralı uygulanır.

f'(x^3 - g(2x)) \cdot (3x^2 - 2g'(2x)) = 6x - 4

Bileşke fonksiyon türev kuralına göre

[f(u(x))]' = f'(u(x)) \cdot u'(x)

ve zincir kuralına göre

[g(2x)]' = 2g'(2x)

olur.

Verilen

g(2) = 3

f'(-2) = 2

değerlerini denklemde yerine koyabilmek amacıyla türev eşitliğinde

x = 1

yazılır.

f'(1 - g(2)) \cdot (3 \cdot 1^2 - 2g'(2)) = 6 \cdot 1 - 4 \implies f'(-2) \cdot (3 - 2g'(2)) = 2

x = 1

seçildiğinde türevlenebilir fonksiyonların içindeki ifadeler bilinen değerlerle eşleşir.

Verilen

f'(-2) = 2

değeri yerine yazılarak denklem

g'(2)

için çözülür.

2 \cdot (3 - 2g'(2)) = 2 \implies 3 - 2g'(2) = 1 \implies 2g'(2) = 2 \implies g'(2) = 1

Ende edilen birinci dereceden denklem çözülerek aranan türev değeri bulunur.

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralının uygulanması ve içteki fonksiyonun türevinin çarpım olarak yazılması.

Tahmini Süre:2m 0s