Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
log⁡615=a\log_6 15 = a
log⁡610=b\log_6 10 = b

olduğuna göre, log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin aa ve bb türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    \frac{a + b - 1}{a - b + 3}
  2. B
    \frac{a + b}{b - a + 2}
  3. \frac{a + b - 1}{b - a + 3}Cevap
  4. D
    \frac{a + b - 1}{b - a + 1}
  5. E
    \frac{a - b + 1}{a + b + 3}

Cevap

\frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Logaritma ifadeleri açılıp taraf tarafa toplanarak ve çıkarılarak log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 değerleri elde edilir. Ardından log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme uygulanıp bu değerler yerine konulduğunda a+b−1b−a+3\frac{a + b - 1}{b - a + 3} ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri logaritmanın çarpım özelliğini kullanarak açın.
a=log⁡63+log⁡65a = \log_6 3 + \log_6 5 ve b=log⁡62+log⁡65b = \log_6 2 + \log_6 5
Toplamsal ilişkileri kurabilmek için sayıları asal çarpanlarına ayırarak logaritmalarını ayırmak.
2
log⁡63\log_6 3 ifadesini log⁡62\log_6 2 cinsinden yazın.
log⁡63=1−log⁡62\log_6 3 = 1 - \log_6 2 olduğundan a=1−log⁡62+log⁡65a = 1 - \log_6 2 + \log_6 5
log⁡62+log⁡63=log⁡66=1\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1 temel özelliğini kullanarak bilinmeyen sayısını azaltmak.
3
Elde edilen iki denklemden log⁡65\log_6 5 ve log⁡62\log_6 2 ifadelerini çekin.
log⁡65=a+b−12\log_6 5 = \frac{a + b - 1}{2} ve log⁡62=b−a+12\log_6 2 = \frac{b - a + 1}{2}
İstenen log⁡125\log_{12} 5 ifadesinin bileşenlerini aa ve bb cinsinden ifade etmek.
4
log⁡125\log_{12} 5 ifadesine 6 tabanında taban değiştirme kuralı uygulayıp değerleri yerine yazın.
log⁡125=log⁡65log⁡612=log⁡651+log⁡62=a+b−1b−a+3\log_{12} 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 12} = \frac{\log_6 5}{1 + \log_6 2} = \frac{a + b - 1}{b - a + 3}
Taban değiştirme özelliğini kullanarak aranan ifadeyi bilinen tabana indirgemek ve sadeleştirmek.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru