Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bir oyuncak üreticisi, ürettiği bir oyuncağın adet satış fiyatını xx TL olarak belirlediğinde, haftalık satış miktarının 180−3x180 - 3x adet olacağını öngörmektedir. Bu oyunca��ın bir adedinin üretim maliyeti 2020 TL'dir. Üretici, yaptığı bir anlaşma gereği haftada en az 7575 adet oyuncak satmak zorundadır. Buna göre, üreticinin bu oyuncak satışından elde edebileceği haftalık maksimum kâr kaç TL'dir?

Cevap: 1125 TL

Cevap

Üreticinin elde edebileceği haftalık maksimum kâr 1125 TL'dir.
Satış miktarının en az 75 adet olması şartı, satış fiyatı olan xx değerinin en fazla 35 TL olabileceğini gösterir (x≤35x \leq 35). Kâr fonksiyonu olan K(x)=(x−20)(180−3x)K(x) = (x - 20)(180 - 3x) parabolünün tepe noktası x=40x = 40 olup bu değer izin verilen x≤35x \leq 35 aralığının dışındadır. Kolları aşağıya doğru olan parabol, tepe noktasına kadar sürekli artan bir grafik çizer. Bu nedenle xx değeri 35'e yaklaştıkça kâr artar ve maksimum kâr x=35x = 35 değerinde 1125 TL olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Satış miktarı kısıtlamasına göre satış fiyatının alabileceği değerler aralığını belirlemek.
Tanım kümesi [20,35][20, 35] aralığı olarak bulunur.
Haftalık satış miktarının en az 75 olması gerektiği (180−3x≥75180 - 3x \geq 75) belirtilmiştir ve kâr elde etmek için satış fiyatı birim maliyet olan 20 TL'den az olamaz.
2
Haftalık kârı veren ikinci dereceden fonksiyonu (parabolü) oluşturmak.
K(x)=−3x2+240x−3600K(x) = -3x^2 + 240x - 3600
Kâr, birim kâr (x−20x - 20) ile satış miktarının (180−3x180 - 3x) çarpımına eşittir.
3
Oluşan parabolün tepe noktasının apsisini (rr) bulmak.
r=40r = 40
İkinci dereceden fonksiyonların en büyük/en küçük değer analizi tepe noktası koordinatları yardımıyla yapılır.
4
Tepe noktasının tanım kümesi ile olan ilişkisini incelemek ve maksimum kârı verecek xx değerini belirlemek.
Maksimum kâr x=35x = 35 noktasında oluşur.
r=40r = 40 değeri [20,35][20, 35] tanım aralığının dışındadır. Kolları aşağı doğru olan bu parabol, tepe noktasına kadar (x<40x < 40 için) artan olduğundan, [20,35][20, 35] aralığındaki en büyük değerini aralığın en sağındaki sınır değeri olan 3535 noktasında alır.
5
Belirlenen satış fiyatı değerini kâr fonksiyonunda yerine yazıp hesaplama yapmak.
11251125 TL
K(35)=(35−20)×(180−3×35)=15×75=1125K(35) = (35 - 20) \times (180 - 3 \times 35) = 15 \times 75 = 1125 işleminin sonucudur.

Anahtar Kavram

Sınırlı bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulurken, tepe noktasının bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa, maksimum veya minimum değerler aralığın uç noktalarında gerçekleşir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri Uygulamaları

Bu konudan daha fazla soru