Examkin

Soru

Zorluk: ZorLogaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
11'den farklı aa ve bb pozitif gerçel sayıları için,
log⁡ab−6log⁡ba=1\log_a b - 6\log_b a = 1
olduğu biliniyor.
Buna göre,
log⁡a(a⋅b)+log⁡b(a⋅b)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) + \log_{\sqrt{b}} (a \cdot b)
ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. 293\frac{29}{3}Cevap
  2. B
    323\frac{32}{3}
  3. C
    233\frac{23}{3}
  4. D
    193\frac{19}{3}
  5. E
    −1-1

Cevap

İfadenin alabileceği değerlerin toplamı yirmi dokuz bölü üçtür.
Verilen denklemde değişken değiştirme yapılıp ikinci dereceden denklem çözüldüğünde elde edilen kökler 3 ve -2'dir. İstenen ifade sadeleştirilip bu kökler yerine yazıldığında elde edilen 32/3 ve -1 değerlerinin toplamı olan 29/3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yapılması
log⁡ab=t  ⟹  log⁡ba=1t\log_a b = t \implies \log_b a = \frac{1}{t}
Verilen denklemde tabanları aynı hale getirmek ve çözülebilir bir yapı oluşturmak amacıyla değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci dereceden denklemin kurulması ve çözülmesi
t−6t=1  ⟹  t2−t−6=0  ⟹  (t−3)(t+2)=0  ⟹  t=3 veya t=−2t - \frac{6}{t} = 1 \implies t^2 - t - 6 = 0 \implies (t - 3)(t + 2) = 0 \implies t = 3 \text{ veya } t = -2
Değişken değiştirme sonrası elde edilen rasyonel denklem düzenlenerek ikinci dereceden bir denklem elde edilir ve çarpanlarına ayrılarak kökler bulunur.
3
İstenen ifadenin t cinsinden düzenlenmesi
log⁡a(a⋅b)=2(log⁡aa+log⁡ab)=2(1+t)\log_{\sqrt{a}} (a \cdot b) = 2(\log_a a + \log_a b) = 2(1 + t)
log⁡b(a⋅b)=2(log⁡ba+log⁡bb)=2(1t+1)\log_{\sqrt{b}} (a \cdot b) = 2(\log_b a + \log_b b) = 2\left(\frac{1}{t} + 1\right)
Toplam=2t+2t+4\text{Toplam} = 2t + \frac{2}{t} + 4
Logaritmanın taban üssü ve çarpım özellikleri kullanılarak sorulan ifade ortak değişken olan tt cinsinden ifade edilir.
4
Bulunan t değerlerinin yerine yazılarak ifadenin değerlerinin hesaplanması
t=3  ⟹  2(3)+23+4=323t = 3 \implies 2(3) + \frac{2}{3} + 4 = \frac{32}{3}
t=−2  ⟹  2(−2)+2−2+4=−1t = -2 \implies 2(-2) + \frac{2}{-2} + 4 = -1
Elde edilen tt değerlerinin her biri düzenlenmiş toplam ifadesinde yerine yazılarak ifadenin alabileceği olası iki değer bulunur.
5
Alınabilecek değerlerin toplamının bulunması
323+(−1)=293\frac{32}{3} + (-1) = \frac{29}{3}
Soruda istenen değerlerin toplamı, elde edilen iki sonucun toplanmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ve Taban Değiştirme

Bu konudan daha fazla soru