Ortak farkı pozitif olan bir (a_n) aritmetik dizisi için, a_6 + a_{14} = 40 a_3 \cdot a_{17} - a_{10}^2 = -196\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ilk terimi olan a_1 kaçtır?

Ortak farkı pozitif olan bir (a_n) aritmetik dizisi için, a_6 + a_{14} = 40 a_3 \cdot a_{1… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Ortak farkı pozitif olan bir

(a_n)

aritmetik dizisi için,

a_6 + a_{14} = 40

a_3 \cdot a_{17} - a_{10}^2 = -196

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi olan $a_1$ kaçtır?

Cevap: 2

Dizinin ilk terimi olan

a_1

değeri 2'dir.

Dizinin terimlerinin indisleri arasındaki ilişkiden yararlanarak

a_{10} = 20

bulunur. Ardından

a_3 \cdot a_{17}

ifadesi

a_{10}

cinsinden yazılarak iki kare farkı özdeşliği yardımıyla ortak fark

r = 2

olarak elde edilir. Buradan

a_{10} = a_1 + 9r

bağıntısı kullanılarak ilk terim 2 olarak hesaplanır.

a_6 + a_{14} = 40

eşitliğini kullanarak

a_{10}

terimini hesaplayınız.

a_{10} = 20

Aritmetik dizilerde terim indislerinin toplamı eşitse terimlerin toplamı da eşittir.

6 + 14 = 10 + 10

olduğundan

a_6 + a_{14} = 2a_{10}

eşitliği sağlanır.

a_3

a_{17}

terimlerini

a_{10}

ve ortak fark

r

cinsinden yazarak verilen ikinci eşitlikten

r

değerini bulunuz.

r = 2

a_3 = a_{10} - 7r

a_{17} = a_{10} + 7r

çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden

a_{10}^2 - 49r^2

sonucunu verir. Eşitlikte yerine yazıldığında

-49r^2 = -196 \implies r^2 = 4

olur. Ortak fark pozitif olduğundan

r = 2

olarak alınır.

a_{10}

r

değerlerini kullanarak dizinin ilk terimi olan

a_1

'i hesaplayınız.

a_1 = 2

a_{10} = a_1 + 9r

genel terim ilişkisinde bilinen değerler yerine yazıldığında

20 = a_1 + 18 \implies a_1 = 2

elde edilir.

Aritmetik dizilerde terimlerin indis özellikleri ve ortak fark yardımıyla birbirleri cinsinden yazılması